miniatura|Polinomis de Bernstein que aproximen una corba En el camp matemàtic de l'anàlisi numèrica, un polinomi de Bernstein és un polinomi expressat com una combinació lineal de polinomis de base de Bernstein. La idea rep el nom del matemàtic Sergei Natanovich Bernstein.
Els polinomis en aquesta forma van ser utilitzats per primera vegada per Bernstein en una demostració constructiva del teorema d'aproximació de Weierstrass. Amb l'arribada dels gràfics per ordinador, els polinomis de Bernstein, restringits a l'interval [0, 1], va esdevenir important en forma de corbes de Bézier.
Una manera numèricament estable d'avaluar polinomis en forma de Bernstein és l'algorisme de Casteljau. miniatura|Polinomis de base de Bernstein per a la fusió de corbes de 4t grau
Definició Polinomis de base de Bernstein El Polinomis de la base de Bernstein de grau es defineixen com
for
on és un coeficient binomial.
Així, per exemple,
Els primers polinomis de la base de Bernstein per combinar o valors són:
Els polinomis de la base de Bernstein de grau formen una base per a l'espai vectorial de polinomis de grau com a màxim tots amb coeficients reals.
Polinomis de Bernstein Una combinació lineal de polinomis de base de Bernstein
s'anomena polinomi de Bernstein o polinomi en la forma de grau de Bernstein Els coeficients s'anomenen coeficients de Bernstein o coeficients de Bézier.
Els primers polinomis de la base de Bernstein de dalt en forma monomial són:
Aproximació de funcions contínues Sigui ƒ una funció contínua a l'interval [0, 1]. Considereu el polinomi de Bernstein
Es pot demostrar que
uniformement a l'interval [0, 1].
Els polinomis de Bernstein proporcionen, doncs, una manera de demostrar el teorema d'aproximació de Weierstrass que tota funció contínua amb valors reals en un interval real [ a , b ] es pot aproximar uniformement mitjançant funcions polinòmiques sobre
Una afirmació més general per a una funció amb derivada k -èsima contínua és
on a més a més
és un valor propi de Bn; la funció pròpia corresponent és un polinomi de grau k.
Prova probabilística Aquesta demostració segueix la demostració original de Bernstein de 1912. Vegeu també Feller (1966) o Koralov i Sinai (2007).
Motivació Primer donarem intuïció a la demostració original de Bernstein. Una funció contínua en un interval compacte ha de ser uniformement contínua. Per tant, el valor de qualsevol funció contínua es pot aproximar uniformement pel seu valor en alguna xarxa finita de punts de l'interval. Aquesta consideració fa que el teorema d'aproximació sigui intuïtiu, atès que els polinomis haurien de ser prou flexibles per coincidir (o gairebé coincidir) amb un nombre finit de parells. Per fer-ho, podríem (1) construir una funció propera a en una xarxa i després (2) suavitzar la funció fora de la xarxa per fer un polinomi.
La demostració probabilística següent simplement proporciona un mètode constructiu per crear un polinomi que és aproximadament igual a en una xarxa de punts d'aquest tipus, atès que "suavitzar" una funció no sempre és trivial. Prendre l'esperança d'una variable aleatòria amb una distribució simple és una manera habitual de suavitzar. Aquí, aprofitem el fet que els polinomis de Bernstein semblen expectatives binomials. Dividim l'interval en una xarxa de n valors discrets. Aleshores, per avaluar qualsevol f(x), avaluem f en un dels n punts de la xarxa propers a x, escollits aleatòriament per la distribució binomial. L'esperança d'aquesta tècnica d'aproximació és polinòmica, ja que és l'esperança d'una funció d'una VR binomial. La demostració següent il·lustra que això aconsegueix una aproximació uniforme de f. El quid de la demostració és (1) justificar la substitució d'un punt arbitrari per un punt de la xarxa escollit binomialment per les propietats de concentració d'una distribució binomial, i (2) justificar la inferència de a per continuïtat uniforme.
La prova de Bernstein Suposem que K és una variable aleatòria distribuïda com el nombre d'èxits en n assaigs independents de Bernoulli amb probabilitat x d'èxit en cada assaig; en altres paraules, K té una distribució binomial amb paràmetres n i x. Aleshores tenim el valor esperat i
Per la llei feble dels grans nombres de la teoria de la probabilitat,
per a cada δ > 0. A més, aquesta relació es compleix uniformement en x, cosa que es pot veure a partir de la seva demostració mitjançant la desigualtat de Txebixev, tenint en compte que la variància de K, igual a x (1 − x ), està delimitat des de dalt per independentment de x.
Com que ƒ, en ser contínua en un interval tancat i delimitat, ha de ser uniformement contínua en aquest interval, es dedueix una afirmació de la forma
uniformement en x per a cada Tenint en compte que ƒ està limitada (en l'interval donat), es troba que
uniformement en x. Per justificar aquesta afirmació, utilitzem un mètode comú en teoria de la probabilitat per convertir de la proximitat en probabilitat a la proximitat en esperança. Es divideix l'esperança de en dues parts dividides segons sí o no . En l'interval on la diferència no supera ε, l'esperança clarament no pot superar ε. En l'altre interval, la diferència encara no pot superar 2 M, on M és un límit superior per a | ƒ (x)| (ja que les funcions uniformement contínues estan limitades). Tanmateix, segons la nostra afirmació de "proximitat en probabilitat", aquest interval no pot tenir una probabilitat superior a ε. Per tant, aquesta part de l'esperança no contribueix més de 2 M vegades ε. Aleshores, l'esperança total no és superior a , que es pot fer arbitràriament petit escollint ε petit.
Finalment, s'observa que el valor absolut de la diferència entre les expectatives mai supera l'esperança del valor absolut de la diferència, una conseqüència de la desigualtat de Holder. Així, utilitzant l'esperança anterior, veiem que (uniformement en x)
Si tenim en compte que la nostra aleatorietat era superior a K mentre que x és constant, l'esperança de f(x) és igual a f(x). Però després hem demostrat que convergeix a f(x). Aleshores haurem acabat si és un polinomi en x (el subíndex ens recorda que x controla la distribució de K ). De fet, és:
Taxes de convergència uniformes entre funcions A la demostració anterior, recordeu que la convergència en cada límit que implica f depèn de la continuïtat uniforme de f, la qual cosa implica una taxa de convergència dependent del mòdul de continuïtat de f. També depèn de 'M', el límit absolut de la funció, tot i que això es pot evitar si es limita i la mida de l'interval. Per tant, l'aproximació només es compleix uniformement a través de x per a una f fixa, però es pot estendre fàcilment la demostració per aproximar uniformement un conjunt de funcions amb un conjunt de polinomis de Bernstein en el context de l'equicontinuïtat.
Generalitzacions a dimensions superiors Els polinomis de Bernstein es poden generalitzar a dimensions: els polinomis resultants tenen la forma . En el cas més simple, només es consideren els productes de l'interval unitari ; però, utilitzant transformacions afins de la recta, els polinomis de Bernstein també es poden definir per a productes . Per a una funció contínua sobre el producte -plicat de l'interval unitari, la demostració que es pot aproximar uniformement per
és una extensió directa de la demostració de Bernstein en una dimensió.
Referències
Bernstein Categoria:Anàlisi numèrica