miniatura|Visualització del flux d'un jet turbulent, feta per fluorescència induïda per làser. El jet presenta una àmplia gamma d'escales de longitud, una característica important dels fluxos turbulents. El problema d'existència i suavitat de Navier-Stokes fa referència a les propietats matemàtiques de les solucions de les equacions de Navier-Stokes, un sistema d'equacions diferencials parcials que descriuen el moviment d'un fluid a l'espai. Les solucions de les equacions de Navier-Stokes s'utilitzen en moltes aplicacions pràctiques. Tanmateix, la comprensió teòrica de les solucions d'aquestes equacions és incompleta. En particular, les solucions de les equacions de Navier-Stokes sovint inclouen turbulència, que continua sent un dels problemes sense resoldre més grans de la física, malgrat la seva immensa importància en la ciència i l'enginyeria.

Fins i tot no s'han demostrat propietats més bàsiques (i aparentment intuïtives) de les solucions de Navier-Stokes. Per al sistema d'equacions tridimensional, i donades algunes condicions inicials, els matemàtics no han demostrat que sempre existeixin solucions suaus ni han trobat cap contraexemple. Això s'anomena problema d'existència i suavitat de Navier-Stokes.

Com que la comprensió de les equacions de Navier-Stokes es considera el primer pas per comprendre el fenomen difícil de comprendre de la turbulència, el Clay Mathematics Institute va convertir aquest problema en un dels seus set problemes del Premi del Mil·lenni en matemàtiques, el maig de 2000. Va oferir un premi d'1.000.000 de dòlars americans a la primera persona que proporcionés una solució per a un enunciat específic del problema:

Demostreu o doneu un contraexemple de l'afirmació següent:

En tres dimensions espacials i temporals, donat un camp de velocitats inicials, existeix un vector de velocitat i un camp de pressió escalar, que són suaus i definits globalment, que resolen les equacions de Navier-Stokes.

Les equacions de Navier-Stokes En matemàtiques, les equacions de Navier-Stokes són un sistema d'equacions diferencials parcials no lineals per a camps vectorials abstractes de qualsevol mida. En física i enginyeria, són un sistema d'equacions que modelen el moviment de líquids o gasos no enrarits (en què el recorregut lliure mitjà és prou curt perquè es pugui considerar com una mitjana contínua en lloc d'una col·lecció de partícules) utilitzant la mecànica contínua. Les equacions són una afirmació de la segona llei de Newton, amb les forces modelades segons les d'un fluid newtonià viscós, com la suma de les contribucions de la pressió, la tensió viscosa i una força corporal externa. Com que el plantejament del problema proposat pel Clay Mathematics Institute és en tres dimensions, per a un fluid incompressible i homogeni, només es considera aquest cas a continuació.

Let be a 3-dimensional vector field, the velocity of the fluid, and let be the pressure of the fluid.More precisely, is the pressure divided by the fluid density, and the density is constant for this incompressible and homogeneous fluid. The Navier–Stokes equations are:

on és la viscositat cinemàtica, la força volumètrica externa, és l'operador de gradient i és l'operador laplacià, que també es denota per o . Tingueu en compte que aquesta és una equació vectorial, és a dir, té tres equacions escalars. Escrivint les coordenades de la velocitat i la força externa

llavors per a cada hi ha l'equació escalar de Navier-Stokes corresponent:

Les incògnites són la velocitat i la pressió Com que en tres dimensions hi ha tres equacions i quatre incògnites (tres velocitats escalars i la pressió), cal una equació suplementària. Aquesta equació addicional és l'equació de continuïtat per a fluids incompressibles que descriu la conservació de la massa del fluid:

A causa d'aquesta última propietat, les solucions per a les equacions de Navier-Stokes es busquen en el conjunt de funcions solenoidals ("sense divergència"). Per a aquest flux d'un medi homogeni, la densitat i la viscositat són constants.

Com que només apareix el seu gradient, la pressió p es pot eliminar prenent la curvatura d'ambdós costats de les equacions de Navier-Stokes. En aquest cas, les equacions de Navier-Stokes es redueixen a les equacions de vorticitat-transport.

Les equacions de Navier-Stokes són no lineals, és a dir, que els termes de les equacions no tenen una relació lineal simple entre si. Això significa que les equacions no es poden resoldre amb tècniques lineals tradicionals i que s'han d'utilitzar mètodes més avançats. Aquesta no linealitat permet que les equacions descriguin una àmplia gamma de fenòmens de dinàmica de fluids, inclosa la formació d'ones de xoc i altres patrons de flux complexos.

Una manera d'entendre la no linealitat de les equacions de Navier-Stokes és considerar el terme a les equacions. Aquest terme representa l'acceleració del fluid i és un producte del vector de velocitat v i l'operador de gradient ∇. Com que l'operador de gradient és un operador lineal, el terme (v · ∇)v no és lineal en el vector de velocitat v. Això significa que l'acceleració del fluid depèn de la magnitud i la direcció de la velocitat, així com de la distribució espacial de la velocitat dins del fluid.

(En el cas del flux compressible, una altra font de no linealitat en les equacions de Navier-Stokes és el terme de pressió La pressió en un fluid depèn de la densitat i del gradient de la pressió, i per tant aquest terme no és lineal en la pressió.)

Per veure això més explícitament, considerem el cas d'un obstacle circular de radi col·locats en un flux uniforme amb velocitat i densitat Deixa sigui la velocitat del fluid a la posició i temps , i deixeu sigui la pressió en la mateixa posició i temps.

Les equacions de Navier-Stokes en aquest cas són:

on és la viscositat cinemàtica del fluid.

Suposant que el flux és estacionari (és a dir, que la velocitat i la pressió no varien amb el temps), podem establir els termes derivatius del temps iguals a zero:

Ara podem considerar el flux a prop de l'obstacle circular. En aquesta regió, la velocitat del fluid serà superior a la velocitat del flux uniforme. a causa de la presència de l'obstacle. Això resulta en un terme no lineal en les equacions de Navier-Stokes que és proporcional a la velocitat del fluid.

Al mateix temps, la presència de l'obstacle també donarà lloc a un gradient de pressió, amb una pressió més alta a prop de l'obstacle i una pressió més baixa més lluny. Això es pot veure considerant l'equació de continuïtat, que estableix que el cabal màssic a través de qualsevol superfície ha de ser constant. Com que la velocitat és més alta a prop de l'obstacle, el cabal màssic a través d'una superfície propera a l'obstacle serà més alt que el cabal màssic a través d'una superfície més allunyada de l'obstacle. Això es pot compensar mitjançant un gradient de pressió, amb una pressió més alta a prop de l'obstacle i una pressió més baixa més lluny.

Com a resultat d'aquests efectes no lineals, les equacions de Navier-Stokes en aquest cas es tornen difícils de resoldre, i s'han d'utilitzar aproximacions o mètodes numèrics per trobar els camps de velocitat i pressió en el flux. Considereu el cas d'un flux de fluid bidimensional en un domini rectangular, amb un camp de velocitat i un camp de pressió Podem utilitzar un mètode d'elements finits per resoldre l'equació de Navier-Stokes per al camp de velocitats:

Per fer això, dividim el domini en una sèrie d'elements més petits i representem el camp de velocitats com:

on és el nombre d'elements, i són les funcions de forma associades a cada element. Substituint aquesta expressió a l'equació de Navier-Stokes i aplicant el mètode dels elements finits, podem derivar un sistema d'equacions diferencials ordinàries:

on és el domini, i les integrals són sobre el domini. Aquest sistema d'equacions diferencials ordinàries es pot resoldre utilitzant tècniques com el mètode dels elements finits o mètodes espectrals.

Aquí, farem servir el mètode de diferències finites. Per fer-ho, podem dividir l'interval de temps en una sèrie de passos de temps més petits i aproximar la derivada a cada pas de temps utilitzant una fórmula de diferències finites:

on és la mida del pas de temps, i i són els valors de i en el pas de temps .

Amb aquesta aproximació, podem iterar a través dels passos de temps i calcular el valor de a cada pas de temps. Per exemple, començant al pas de temps i utilitzant l'aproximació anterior, podem calcular el valor de en el pas de temps :

Aquest procés es pot repetir fins que arribem al pas de temps final .

Hi ha molts altres mètodes per resoldre equacions diferencials ordinàries, cadascun amb els seus propis avantatges i desavantatges. L'elecció del mètode depèn de l'equació específica que es resolgui i de la precisió i l'eficiència desitjades de la solució.

Referències

Categoria:Dinàmica de fluids