En mecànica del continu, la teoria de deformació infinitesimal és un enfocament matemàtic per a la descripció de la deformació d'un cos sòlid en què se suposa que els desplaçaments de les partícules materials són molt més petits (de fet, infinitament més petits) que qualsevol dimensió rellevant del cos; de manera que es pot suposar que la seva geometria i les propietats constitutives del material (com ara la densitat i la rigidesa) en cada punt de l'espai no canvien per la deformació.
Amb aquesta suposició, les equacions de la mecànica del continu es simplifiquen considerablement. Aquest enfocament també es pot anomenar teoria de petites deformacions, teoria de petits desplaçaments o teoria de petits gradients de desplaçament. Es contrasta amb la teoria de deformació finita, on es fa la suposició oposada.
La teoria de deformacions infinitesimals té àmplies aplicacions en enginyeria. L'anàlisi d'esforços, per exemple, intenta predir el comportament d'estructures construïdes amb materials elàstics relativament rígids, com el formigó i l'acer. Aquesta anàlisi es pot utilitzar per minimitzar la deformació d'un disseny d'estructura sota càrregues típiques. Tanmateix, aquesta aproximació requereix precaució en el cas de cossos prims i flexibles, com ara barres, plaques i closques, que són susceptibles a rotacions significatives, cosa que fa que els resultats siguin poc fiables.
Tensor de deformació infinitesimal Per a deformacions infinitesimals d'un cos continu, en què el tensor del gradient de desplaçament (tensor de segon ordre) és petit en comparació amb la unitat, és a dir, , és possible realitzar una linealització geomètrica de qualsevol dels tensors de deformació finita utilitzats en la teoria de deformació finita, p. ex., el tensor de deformació finita lagrangiana , i el tensor de deformació finita euleriana En aquesta linealització, es negligeixen els termes no lineals o de segon ordre del tensor de deformació finita. Per tant, tenim
o i o
Aquesta linealització implica que la descripció lagrangiana i la descripció euleriana són aproximadament iguals, ja que hi ha poca diferència en les coordenades materials i espacials d'un punt material determinat en el continu. Per tant, els components tensorials del gradient de desplaçament material i els components tensorials del gradient de desplaçament espacial són aproximadament iguals. Així tenim o on són els components del tensor de deformació infinitesimal , també anomenat tensor de deformació de Cauchy, tensor de deformació lineal o tensor de petita deformació.
o
A més, com que el gradient de deformació es pot expressar com
on és el tensor d'identitat de segon ordre, tenim A més, a partir de l'expressió general per als tensors de deformació finita lagrangians i eulerians tenim
Derivació geomètrica class=skin-invert-image|miniatura|400x400px|Figura 1. Deformació geomètrica bidimensional d'un element material infinitesimal. Considereu una deformació bidimensional d'un element material rectangular infinitesimal amb dimensions per (Figura 1), que després de la deformació, pren la forma d'un rombe. A partir de la geometria de la Figura 1 tenim
Per a gradients de desplaçament molt petits, és a dir, , tenim
La deformació normal en la direcció x de l'element rectangular es defineix peri sabent que , tenimDe la mateixa manera, la tensió normal en el direcció y i direcció z esdevé
La deformació de cisallament d'enginyeria, o el canvi d'angle entre dues línies de material originalment ortogonals, en aquest cas la línia i , es defineix com
De la geometria de la Figura 1 tenim Per a petites rotacions, és a dir,
i són tenim i, de nou, per a petits gradients de desplaçament, tenim així Intercanviant i i i , es pot demostrar que .
De la mateixa manera, per a la - i - avions, tenim
Es pot veure que els components de deformació de cisallament tensorial del tensor de deformació infinitesimal es poden expressar mitjançant la definició de deformació d'enginyeria, com a
Interpretació física De la teoria de deformacions finites tenim Per a deformacions infinitesimals, aleshores tenim
Dividint per tenim Per a petites deformacions suposem que
, així el segon terme del costat esquerre esdevé: .
Aleshores tenim on , és el vector unitari en la direcció de , i l'expressió del costat esquerre és la deformació normal en direcció a Per al cas particular de en el direcció, és a dir, , tenim De la mateixa manera, per a i podem trobar les soques normals i , respectivament. Per tant, els elements diagonals del tensor de deformació infinitesimal són les deformacions normals en les direccions de coordenades.
Equacions de compatibilitat Per a components de deformació prescrits l'equació del tensor de deformació representa un sistema de sis equacions diferencials per a la determinació de tres components de desplaçament , donant un sistema sobredeterminat. Per tant, generalment no existeix una solució per a una elecció arbitrària de components de deformació. Per tant, s'imposen algunes restriccions, anomenades equacions de compatibilitat, sobre els components de deformació. Amb l'addició de les tres equacions de compatibilitat, el nombre d'equacions independents es redueix a tres, coincidint amb el nombre de components de desplaçament desconeguts. Aquestes restriccions sobre el tensor de deformació van ser descobertes per Saint-Venant i s'anomenen "equacions de compatibilitat de Saint-Venant".
Les funcions de compatibilitat serveixen per assegurar una funció de desplaçament contínua d'un sol valor Si el medi elàstic es visualitza com un conjunt de cubs infinitesimals en estat no deformat, després que el medi sigui deformat, un tensor de deformació arbitrari pot no donar una situació en què els cubs distorsionats encara encaixin sense superposar-se.
En notació d'índex, les equacions de compatibilitat s'expressen com a
En notació d'enginyeria,
Casos especials Deformació plana class=skin-invert-image|miniatura|500x500px|Estat de deformació plana en un continu. En components d'enginyeria reals, la tensió (i la deformació) són tensors tridimensionals, però en estructures prismàtiques com ara un lingot metàl·lic llarg, la longitud de l'estructura és molt més gran que les altres dues dimensions. Les deformacions associades a la longitud, és a dir, la deformació normal i les deformacions de cisallament i (si la longitud és la direcció 3) estan restringides pel material proper i són petites en comparació amb les deformacions de la secció transversal. La deformació plana és llavors una aproximació acceptable. El tensor de deformació per a la deformació plana s'escriu com:
en què el doble subratllat indica un tensor de segon ordre. Aquest estat de deformació s'anomena deformació plana. El tensor de tensió corresponent és:
en què el diferent de zero és necessari per mantenir la restricció Aquest terme d'esforç es pot eliminar temporalment de l'anàlisi per deixar només els termes en el pla, reduint efectivament el problema tridimensional a un problema bidimensional molt més simple.
Tensió antiplà La deformació antipla és un altre estat especial de deformació que es pot produir en un cos, per exemple en una regió propera a una dislocació de cargol. El tensor de deformació per a la deformació antipla ve donat per
Relació amb el tensor de rotació infinitesimal El tensor de deformació infinitesimal es defineix com Per tant, el gradient de desplaçament es pot expressar com on La quantitat és el tensor de rotació infinitesimal o el tensor de desplaçament angular infinitesimal (relacionat amb la matriu de rotació infinitesimal). Aquest tensor és antisimètric. Per a deformacions infinitesimals, els components escalars de complir la condició Cal tenir en compte que el gradient de desplaçament només és petit si both el tensor de deformació com el tensor de rotació són infinitesimals.
Referències
Categoria:Física Categoria:Materials