miniatura|300x300px|Figura 1: Vista de la superfície de fluència de Drucker-Prager en l'espai 3D de les tensions principals per a El criteri de fluència de Drucker-PragerDrucker, D. C. and Prager, W. (1952). Soil mechanics and plastic analysis for limit design. Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, no. 2, p. 157–165. és un model dependent de la pressió per determinar si un material ha fallat o ha experimentat una fluència plàstica. El criteri es va introduir per tractar la deformació plàstica dels sòls. S'ha aplicat a roca, formigó, polímers, escumes i altres materials dependents de la pressió.
El criteri de rendiment de Drucker-Prager té la forma
on és el primer invariant de la tensió de Cauchy i és el segon invariant de la part desviatòria de la tensió de Cauchy. Les constants es determinen a partir d'experiments.
En termes de la tensió equivalent (o tensió de von Mises) i la tensió hidroestàtica (o mitjana), el criteri de Drucker-Prager es pot expressar com
on és la tensió equivalent, és la tensió hidroestàtica, i són constants de material. El criteri de rendiment de Drucker-Prager expressat en coordenades de Haigh-Westergaard és
La superfície de rendiment de Drucker-Prager és una versió llisa de la superfície de rendiment de Mohr-Coulomb.
Expressions per a A i B El model de Drucker-Prager es pot escriure en termes de les tensions principals com
Si és la tensió elàstica en tensió uniaxial, el criteri de Drucker-Prager implica
Si és la tensió elàstica en compressió uniaxial, el criteri de Drucker-Prager implica
Resolent aquestes dues equacions dóna
Relació d'asimetria uniaxial El model de Drucker-Prager prediu diferents tensions de rendiment uniaxials en tracció i en compressió. La relació d'asimetria uniaxial per al model de Drucker-Prager és
Expressions en termes de cohesió i angle de fricció Com que la superfície de fluència de Drucker-Prager és una versió llisa de la superfície de fluència de Mohr-Coulomb, sovint s'expressa en termes de cohesió () i l'angle de fricció interna () que s'utilitzen per descriure la superfície de rendiment de Mohr-Coulomb. Si suposem que la superfície de rendiment de Drucker-Prager circumscriu la superfície de rendiment de Mohr-Coulomb, aleshores les expressions per a i són
Si el centre de la superfície de rendiment de Drucker-Prager circumscriu la superfície de rendiment de Mohr-Coulomb, aleshores
Si la superfície de rendiment de Drucker-Prager inscriu la superfície de rendiment de Mohr-Coulomb, aleshores
enllaç=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Drucker_Prager_Yield_Surface_3Db.png|cap|miniatura|300x300px|Figura 2: Superfície de fluència de Drucker-Prager en el pla per enllaç=https://en.wikipedia.org/wiki/File:MC_DP_Yield_Surface_sig1sig2.png|cap|miniatura|300x300px|Figura 3: Traça de les superfícies de fluència de Drucker-Prager i Mohr-Coulomb en el pla per . Goc = Mohr–Coulomb, Blau = Drucker–Prager.
Model de Drucker-Prager per a polímers El model Drucker-Prager s'ha utilitzat per modelar polímers com el polioximetilè i el polipropilè.Abrate, S. (2008). Criteria for yielding or failure of cellular materials. Journal of Sandwich Structures and Materials, vol. 10. p. 5–51. Per al polioximetilè, la tensió elàstica és una funció lineal de la pressió. Tanmateix, el polipropilè mostra una dependència quadràtica de la pressió de la tensió elàstica.
Per a les escumes, el model GAZTGibson, L.J., Ashby, M.F., Zhang, J. and Triantafilliou, T.C. (1989). Failure surfaces for cellular materials under multi-axial loads. I. Modeling. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 31, no. 9, p. 635–665. utilitza
on és una tensió crítica per a la fallada en tracció o compressió, és la densitat de l'escuma, i és la densitat del material base.
Extensions del model isotròpic de Drucker-Prager El criteri de Drucker-Prager també es pot expressar en la forma alternativa
Criteri de rendiment de Deshpande-Fleck o criteri de rendiment d'escuma isotròpica El criteri de rendiment de Deshpande-FleckV. S. Deshpande, and Fleck, N. A. (2001). Multi-axial yield behaviour of polymer foams. Acta Materialia, vol. 49, no. 10, p. 1859–1866. per a escumes té la forma que es dóna a l'equació anterior. Els paràmetres per al criteri de Deshpande-Fleck són
on és un paràmetre where is the quantity used by Deshpande–Fleck que determina la forma de la superfície de rendiment, i és la tensió elàstica en tracció o compressió.
Criteri de rendiment anisotròpic de Drucker-Prager Una forma anisotròpica del criteri de rendiment de Drucker-Prager és el criteri de rendiment de Liu-Huang-Stout.Liu, C., Huang, Y., and Stout, M. G. (1997). On the asymmetric yield surface of plastically orthotropic materials: A phenomenological study. Acta Materialia, vol. 45, no. 6, p. 2397–2406 Aquest criteri de rendiment és una extensió del criteri de rendiment de Hill generalitzat i té la forma
Els coeficients són
on
i són les tensions de rendiment uniaxials en compressió en les tres direccions principals d'anisotropia, són les tensions de rendiment uniaxials en tracció, i són les tensions de rendiment en cisallament pur. S'ha assumit anteriorment que les quantitats són positius i són negatius.
El criteri de rendiment de Drucker El criteri de Drucker-Prager no s'ha de confondre amb l'anterior criteri de DruckerDrucker, D. C. (1949) Relations of experiments to mathematical theories of plasticity, Journal of Applied Mechanics, vol. 16, p. 349–357. que és independent de la pressió ( ). El criteri de rendiment de Drucker té la forma
on és el segon invariant de la tensió desviatòria, és el tercer invariant de la tensió desviatòria, és una constant que es troba entre -27/8 i 9/4 (perquè la superfície de rendiment sigui convexa), és una constant que varia amb el valor de Per a , on és la tensió elàstica en tracció uniaxial.
Criteri de Drucker anisotròpic Una versió anisotròpica del criteri de rendiment de Drucker és el criteri de rendiment de Cazacu-Barlat (CZ). que té la forma
on són formes generalitzades de la tensió desviatòria i es defineixen com
Criteri de rendiment de Cazacu-Barlat per a la tensió plana Per a làmines metàl·liques primes, l'estat de tensió es pot aproximar com a tensió plana. En aquest cas, el criteri de fluència de Cazacu-Barlat es redueix a la seva versió bidimensional amb
Per a làmines primes de metalls i aliatges, els paràmetres del criteri de rendiment de Cazacu-Barlat són
Taula 1. Paràmetres del criteri de rendiment de Cazacu-Barlat per a xapes metàl·liques i aliatges MaterialAliatge d'alumini 6016-T40,8150,8150,3340,420,04 -1.205 -0,958Aliatge d'alumini 2090-T31,050,8230,5860,961.440,061 -1.302
Referències
Categoria:Ciència de materials