En el cas de deformacions finites, els tensors de tensió de Piola-Kirchhoff (anomenats així per Gabrio Piola i Gustav Kirchhoff) expressen la tensió relativa a la configuració de referència. Això contrasta amb el tensor de tensió de Cauchy, que expressa la tensió relativa a la configuració actual. Per a deformacions i rotacions infinitesimals, els tensors de Cauchy i Piola-Kirchhoff són idèntics. Mentre que el tensor de tensió de Cauchy relaciona les tensions en la configuració actual, el gradient de deformació i els tensors de deformació es descriuen relacionant el moviment amb la configuració de referència; per tant, no tots els tensors que descriuen l'estat del material es troben en la configuració de referència o actual. Descriure la tensió, la deformació i la deformació, ja sigui en la configuració de referència o actual, facilitaria la definició de models constitutius (per exemple, el tensor de tensió de Cauchy és variant a una rotació pura, mentre que el tensor de deformació i deformació és invariant; això crea problemes a l'hora de definir un model constitutiu que relacioni un tensor variable en termes d'un tensor invariant durant la rotació pura; ja que, per definició, els models constitutius han de ser invariants a les rotacions pures). El primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff, és una possible solució a aquest problema. Defineix una família de tensors, que descriuen la configuració del cos en l'estat actual o en l'estat de referència. miniatura|Suport gràfic per als components tensorials de tensió El primer tensor de tensions de Piola-Kirchhoff , relaciona les forces de la configuració actual ("espacial") amb les àrees de la configuració de referència ("material").

on és el gradient de deformació i és el determinant jacobià. En termes de components respecte a una base ortonormal, la primera tensió de Piola-Kirchhoff ve donada per

Com que relaciona diferents sistemes de coordenades, la primera tensió de Piola-Kirchhoff és un tensor de dos punts. En general, no és simètrica. La primera tensió de Piola-Kirchhoff és la generalització 3D del concepte 1D de tensió d'enginyeria. Si el material gira sense un canvi en l'estat de tensió (rotació rígida), els components del primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff variaran amb l'orientació del material. La primera tensió de Piola-Kirchhoff és l'energia conjugada amb el gradient de deformació. Relaciona les forces de la configuració actual amb les àrees de la configuració de referència.

El segon tensor de tensions de Piola-Kirchhoff, , relaciona les forces de la configuració de referència amb les àrees de la configuració de referència. La força de la configuració de referència s'obté mitjançant un mapatge que preserva la relació relativa entre la direcció de la força i la normal de l'àrea a la configuració de referència.

En la notació d'índex respecte a una base ortonormal,

Aquest tensor, un tensor d'un punt, és simètric. Si el material gira sense un canvi en l'estat de tensió (rotació rígida), els components del segon tensor de tensió de Piola-Kirchhoff romanen constants, independentment de l'orientació del material. El segon tensor de tensió de Piola-Kirchhoff és un conjugat d'energia amb el tensor de deformació finita de Green-Lagrange.

Referències

Categoria:Ciència de materials