La lògica probabilística (també lògica de probabilitat i raonament probabilístic) implica l'ús de la probabilitat i la lògica per tractar situacions incertes. La lògica probabilística estén les taules de veritat lògiques tradicionals amb expressions probabilístiques. Una dificultat de les lògiques probabilístiques és la seva tendència a multiplicar les complexitats computacionals dels seus components probabilístics i lògics. Altres dificultats inclouen la possibilitat de resultats contraintuïtius, com en el cas de la fusió de creences en la teoria de Dempster-Shafer. La confiança en les fonts i la incertesa epistèmica sobre les probabilitats que proporcionen, tal com es defineix en la lògica subjectiva, són elements addicionals a tenir en compte. La necessitat de tractar una àmplia varietat de contextos i qüestions ha donat lloc a moltes propostes diferents.
Antecedents lògics Hi ha nombroses propostes de lògiques probabilístiques. A grans trets, es poden classificar en dues classes diferents: les lògiques que intenten fer una extensió probabilística de la implicació lògica, com ara les xarxes lògiques de Markov, i les que intenten abordar els problemes d'incertesa i manca d'evidència (lògiques evidencials).
Que el concepte de probabilitat pugui tenir diferents significats es pot entendre observant que, malgrat la matematització de la probabilitat a la Il·lustració, la teoria de la probabilitat matemàtica continua, fins avui, completament inutilitzada en els tribunals penals, a l'hora d'avaluar la "probabilitat" de culpabilitat d'un presumpte criminal.James Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal, 2001 The Johns Hopkins Press, .
Més precisament, en la lògica probatòria, cal distingir la veritat objectiva d'una afirmació de la nostra decisió sobre la veritat d'aquesta afirmació, que al seu torn s'ha de distingir de la nostra confiança en la seva veritat: així, la culpabilitat real d'un sospitós no és necessàriament la mateixa que la decisió del jutge sobre la culpabilitat, que al seu torn no és el mateix que assignar una probabilitat numèrica a la comissió del delicte i decidir si està per sobre d'un llindar numèric de culpabilitat. El veredicte sobre un sol sospitós pot ser culpable o no culpable amb certa incertesa, de la mateixa manera que el llançament d'una moneda es pot predir com a cara o creu amb certa incertesa. Donat un gran conjunt de sospitosos, un cert percentatge pot ser culpable, de la mateixa manera que la probabilitat de llançar "cara" és de la meitat. Tanmateix, és incorrecte prendre aquesta llei de les mitjanes respecte a un sol criminal (o un sol llançament de moneda): el criminal no és més "una mica culpable" que predir que un sol llançament de moneda sigui "una mica cara i una mica creu": simplement no estem segurs de quin és. Expressar la incertesa com una probabilitat numèrica pot ser acceptable quan es fan mesures científiques de quantitats físiques, però és simplement un model matemàtic de la incertesa que percebem en el context del raonament i la lògica del "sentit comú". Igual que en el raonament judicial, l'objectiu d'emprar la inferència incerta és recopilar proves per enfortir la confiança d'una proposició, en lloc de realitzar algun tipus d'implicació probabilística.
Context històric Històricament, els intents de quantificar el raonament probabilístic es remunten a l'antiguitat. Hi va haver un interès particularment fort a partir del segle XII, amb l'obra dels escolàstics, amb la invenció de la semiprova (de manera que dues semiproves són suficients per demostrar la culpabilitat), l'elucidació de la certesa moral (certesa suficient per actuar, però sense certesa absoluta), el desenvolupament del probabilisme catòlic (la idea que sempre és segur seguir les regles establertes de la doctrina o l'opinió dels experts, fins i tot quan són menys probables), el raonament basat en casos de la casuística i l'escàndol del laxisme (pel qual el probabilisme s'utilitzava per donar suport a gairebé qualsevol afirmació, sent possible trobar una opinió experta que doni suport a gairebé qualsevol proposició).James Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal, 2001 The Johns Hopkins Press, .
Propostes modernes A continuació es mostra una llista de propostes per a extensions probabilístiques i evidencials de la lògica clàssica i de predicats.
El terme "lògica probabilística" va ser utilitzat per primera vegada per John von Neumann en una sèrie de conferències de Caltech el 1952 i el 1956 en l'article "Lògica probabilística i la síntesi d'organismes fiables a partir de components no fiables", i posteriorment en un article de Nils Nilsson publicat el 1986, on els valors de veritat de les frases són probabilitats. La generalització semàntica proposada indueix una implicació lògica probabilística, que es redueix a una implicació lògica ordinària quan les probabilitats de totes les frases són 0 o 1. Aquesta generalització s'aplica a qualsevol sistema lògic per al qual es pot establir la consistència d'un conjunt finit de frases.
Gaifman i Snir han desenvolupat una unificació globalment consistent i empíricament satisfactòria de la teoria de la probabilitat clàssica i la lògica de primer ordre que és adequada per al raonament inductiu. La seva teoria assigna probabilitats o graus de creences a frases coherents amb la base de coneixement (probabilitat 1 per a fets i axiomes), coherents amb els axiomes de probabilitat estàndard (Kolmogorov) i la deducció lògica, i permet el raonament inductiu (bayesià) i l'aprenentatge en el límit. El més important és que, a diferència de la majoria de propostes alternatives, permet la confirmació d'hipòtesis quantificades universalment. La teoria també s'ha ampliat a la lògica d'ordre superior. Ambdues solucions són purament teòriques però han generat aproximacions pràctiques.
El concepte central de la teoria de la lògica subjectiva són les opinions sobre algunes de les variables proposicionals implicades en les frases lògiques donades. Una opinió binomial s'aplica a una sola proposició i es representa com una extensió tridimensional d'un únic valor de probabilitat per expressar la incertesa probabilística i epistèmica sobre la veritat de la proposició. Per al càlcul d'opinions derivades basades en una estructura d'opinions argumentals, la teoria proposa operadors respectius per a diversos connectors lògics, com ara, per exemple, multiplicació (AND), comultiplicació (OR), divisió (UN-AND) i codivisió (UN-OR) d'opinions,deducció condicional (MP) i abducció (MT), així com el teorema de Bayes.
l formalisme de raonament aproximat proposat per la lògica difusa es pot utilitzar per obtenir una lògica en què els models són les distribucions de probabilitat i les teories són les envolvents inferiors. En aquesta lògica, la qüestió de la consistència de la informació disponible està estrictament relacionada amb la de la coherència de l'assignació probabilística parcial i, per tant, amb els fenòmens dels llibres holandesos.
Les xarxes lògiques de Markov implementen una forma d'inferència incerta basada en el principi d'entropia màxima: la idea que les probabilitats s'han d'assignar de manera que es maximitzi l'entropia, en analogia amb la manera com les cadenes de Markov assignen probabilitats a les transicions de màquines d'estat finit.
Sistemes com les Xarxes Lògiques Probabilístiques (PLN) de Ben Goertzel afegeixen una classificació de confiança explícita, així com una probabilitat als àtoms i les frases. Les regles de deducció i inducció incorporen aquesta incertesa, evitant així les dificultats en els enfocaments purament bayesians de la lògica (inclosa la lògica de Markov), alhora que eviten les paradoxes de la teoria de Dempster-Shafer. La implementació de PLN intenta utilitzar i generalitzar algoritmes de la programació lògica, subjectes a aquestes extensions.
En el camp de l'argumentació probabilística, s'han proposat diversos marcs formals. El marc dels "etiquetatges probabilístics", per exemple, es refereix a espais de probabilitat on un espai mostral és un conjunt d'etiquetatges de gràfics d'argumentació. En el marc dels "sistemes d'argumentació probabilística", les probabilitats no s'adjunten directament a arguments o oracions lògiques. En canvi, se suposa que un subconjunt particular 𝑊 de les variables 𝑉 implicades en les oracions defineix un espai de probabilitat sobre la sub-σ-àlgebra corresponent. Això indueix dues mesures de probabilitat diferents respecte a 𝑉 , que s'anomenen grau de suport i grau de possibilitat, respectivament. Els graus de suport es poden considerar com a probabilitats no additives de demostrabilitat, que generalitzen els conceptes d'implicació lògica ordinària (per a 𝑉 = {}) i probabilitats posteriors clàssiques (per a 𝑉=𝑊). Matemàticament, aquest punt de vista és compatible amb la teoria de Dempster-Shafer.
La teoria del raonament evidencial també defineix les probabilitats no additives de probabilitat (o probabilitats epistèmiques) com una noció general tant per a l'implicació lògica (probabilitat) com per a la probabilitat. La idea és augmentar la lògica proposicional estàndard considerant un operador epistèmic K que representa l'estat de coneixement que un agent racional té sobre el món. Les probabilitats es defineixen llavors sobre l'univers epistèmic resultant Kp de totes les oracions proposicionals p, i s'argumenta que aquesta és la millor informació disponible per a un analista. Des d'aquest punt de vista, la teoria de Dempster-Shafer sembla ser una forma generalitzada de raonament probabilístic.Kohlas, J., and Monney, P.A., 1995. A Mathematical Theory of Hints. An Approach to the Dempster–Shafer Theory of Evidence. Vol. 425 in Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer Verlag.Haenni, R, 2005, "Towards a Unifying Theory of Logical and Probabilistic Reasoning," ISIPTA'05, 4th International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications: 193-202.
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Lògica