En matemàtiques, el terme desigualtat de Ky Fan fa referència a una desigualtat que implica la mitjana geomètrica i la mitjana aritmètica de dos conjunts de nombres reals dins de l'interval unitat.

El resultat es va publicar a la pàgina 5 del llibre Inequalities d'Edwin F. Beckenbach i Richard E. Bellman (1961), que l'atribueixen a un resultat no publicat de Ky Fan. Discuteixen la desigualtat en relació amb la desigualtat de les mitjanes aritmètiques i geomètriques i la demostració d'Augustin Louis Cauchy d'aquesta desigualtat mitjançant la inducció cap endavant i cap enrere, un mètode que també es pot utilitzar per demostrar la desigualtat de Ky Fan.

Aquesta desigualtat és un cas especial de la desigualtat de Levinson i serveix de base per a diverses generalitzacions i refinaments, alguns dels quals es fan referència a continuació.

Declaració de la versió clàssica Si amb per a i = 1, ..., n, llavors

amb igualtat si i només si x1 = x2 = ⋅ ⋅ ⋅ = xn.

Observació Fem que

denotin la mitjana aritmètica i geomètrica, respectivament, de x1, . . ., xn, i fem que

denoten la mitjana aritmètica i geomètrica, respectivament, de 1 − x1, . . ., 1 − xn. Then the Ky Fan inequality can be written as

que mostra la similitud amb la desigualtat de les mitjanes aritmètica i geomètrica donada per Gn ≤ An.

Generalització amb pesos Si xi ∈ [0,] i γi ∈ [0,1] per i = 1, . . ., n els nombres reals satisfan γ1 + . . . + γn = 1, llavors

amb la convenció 00 := 0. La igualtat es compleix si i només si γixi = 0 per a tots i = 1, . . ., n o tot xi > 0 i existeix x ∈ (0,] de tal manera que x = xi per a tot i = 1, . . ., n amb γi > 0.

La versió clàssica correspon a γi = 1/n fper a tot i = 1, . . ., n.

Prova de la generalització Idea: Aplicar la desigualtat de Jensen a la funció estrictament còncava

Demostració detallada:

(a) Si almenys un xi és zero, aleshores el costat esquerre de la desigualtat de Ky Fan és zero i la desigualtat es demostra. La igualtat es compleix si i només si el costat dret també és zero, que és el cas quan γixi = 0 per a tot i = 1, . . ., n.

(b) Suposem ara que tots els xi > 0. Si hi ha un i amb γi = 0, aleshores el xi > 0 corresponent no té cap efecte a cap dels dos costats de la desigualtat, per tant, es pot ometre el terme i-èssim. Per tant, podem suposar que γi > 0 per a tots els i en el següent. Si x1 = x2 = . . . = xn , aleshores la igualtat es compleix. Queda demostrar desigualtat estricta si no tots els xi són iguals.

La funció f és estrictament còncava a (0,], perquè tenim com a derivada segona

Utilitzant l'equació funcional per al logaritme natural i la desigualtat de Jensen per a la f estrictament còncava, obtenim que

on vam utilitzar en l'últim pas que la suma de γi és igual a 1. Prenent l'exponencial d'ambdós costats s'obté la desigualtat de Ky Fan.

Referències

Bibliografia

Categoria:Desigualtats