miniatura|En blau, la suma de les probabilitats de passar pels forats 1 o 2; en vermell, menys la probabilitat conjunta de passar per "ambdós forats". El patró d'interferència s'obté sumant les dues corbes. La probabilitat del resultat d'un experiment mai és negativa, tot i que una distribució de quasiprobabilitat permet una probabilitat negativa, o quasiprobabilitat, per a alguns esdeveniments. Aquestes distribucions es poden aplicar a esdeveniments no observables o probabilitats condicionals.
Física i matemàtiques El 1942, Paul Dirac va escriure un article titulat "La interpretació física de la mecànica quàntica" on va introduir el concepte d'energies negatives i probabilitats negatives:
Les energies i probabilitats negatives no s'han de considerar com a ximpleries. Matemàticament són conceptes ben definits, com ara el negatiu dels diners.
La idea de les probabilitats negatives va rebre més tard una atenció creixent en física i particularment en mecànica quàntica. Richard Feynman va argumentar que ningú s'oposa a l'ús de nombres negatius en els càlculs: tot i que "menys tres pomes" no és un concepte vàlid a la vida real, els diners negatius sí que ho són. De la mateixa manera, va argumentar com les probabilitats negatives, així com les probabilitats per sobre de la unitat, podrien ser útils en els càlculs de probabilitat.
Posteriorment s'han suggerit probabilitats negatives per resoldre diversos problemes i paradoxes. Les mitges monedes proporcionen exemples senzills de probabilitats negatives. Aquestes estranyes monedes van ser introduïdes el 2005 per Gábor J. Székely. Les mitges monedes tenen infinites cares numerades amb 0, 1, 2,... i els nombres parells positius es prenen amb probabilitats negatives. Dues mitges monedes formen una moneda completa en el sentit que si llancem dues mitges monedes, la suma dels resultats és 0 o 1 amb probabilitat 1/2 com si simplement llancéssim una moneda justa. Vint anys més tard, el 2025, Nikolai Leonenko i Igor Podlubny van proporcionar la primera simulació numèrica de mitja moneda i altres monedes parcials.
En Quocients de convolució de funcions definides no negatives i Teoria de la probabilitat algebraica Imre Z. Ruzsa i Gábor J. Székely van demostrar que si una variable aleatòria X té una distribució amb signe o quasi on algunes de les probabilitats són negatives, sempre es poden trobar dues variables aleatòries, Y i Z, amb distribucions ordinàries (sense signe / no quasi) tals que X, Y siguin independents i X + Y = Z en distribució. Per tant, X sempre es pot interpretar com la "diferència" de dues variables aleatòries ordinàries, Z i Y. Si Y s'interpreta com un error de mesura de X i el valor observat és Z, les regions negatives de la distribució de X queden emmascarades / protegides per l'error Y.
Un altre exemple conegut com la distribució de Wigner en l'espai de fase, introduïda per Eugene Wigner el 1932 per estudiar les correccions quàntiques, sovint condueix a probabilitats negatives. Per aquesta raó, posteriorment ha estat més coneguda com la distribució de quasiprobabilitat de Wigner. El 1945, MS Bartlett va elaborar la consistència matemàtica i lògica d'aquesta valorització negativa. La funció de distribució de Wigner s'utilitza habitualment en física avui dia i proporciona la pedra angular de la quantització de l'espai de fase. Les seves característiques negatives són un actiu per al formalisme i sovint indiquen interferència quàntica. Les regions negatives de la distribució estan protegides de l'observació directa pel principi d'incertesa quàntica: normalment, els moments d'aquesta distribució de quasiprobabilitat no positiva-semidefinida estan molt restringits i impedeixen la mesurabilitat directa de les regions negatives de la distribució. No obstant això, aquestes regions contribueixen negativament i crucialment als valors esperats de les quantitats observables calculades a través d'aquestes distribucions.
Enginyeria El concepte de probabilitats negatives també s'ha proposat per a models fiables d'ubicació d'instal·lacions on les instal·lacions estan subjectes a riscos d'interrupció correlacionats negativament quan les ubicacions de les instal·lacions, l'assignació de clients i els plans de servei de còpia de seguretat es determinen simultàniament. Li et al. van proposar una estructura d'estació virtual que transforma una xarxa d'instal·lacions amb interrupcions correlacionades positivament en una d'equivalent amb estacions de suport virtuals afegides, i aquestes estacions virtuals estaven subjectes a interrupcions independents. Aquest enfocament redueix un problema d'un amb interrupcions correlacionades a un sense. Xie et al. van mostrar més tard com les interrupcions correlacionades negativament també es poden abordar amb el mateix marc de modelització, excepte que una estació de suport virtual ara es pot interrompre amb una "propensió a fallades" que
... hereta totes les característiques i propietats matemàtiques d'una probabilitat de fallada, excepte que permetem que sigui més gran que 1...
Aquesta troballa obre camins per utilitzar programes matemàtics compactes de nombres enters mixtos per dissenyar de manera òptima la ubicació fiable de les instal·lacions de servei sota correlacions de interrupció de les instal·lacions dependents del lloc i positives/negatives/mixtes.
El concepte de "propensió" proposat per Xie et al. resulta ser el que Feynman i altres van anomenar "quasi-probabilitat". Cal tenir en compte que quan una quasi-probabilitat és més gran que 1, aleshores 1 menys aquest valor dóna una probabilitat negativa. En el context de la ubicació fiable d'una instal·lació, l'observació realment físicament verificable són els estats de disrupció de la instal·lació (les probabilitats dels quals s'assegura que estiguin dins del rang convencional [0,1]), però no hi ha informació directa sobre els estats de disrupció de l'estació ni les seves probabilitats corresponents. Per tant, les "probabilitats" de disrupció de les estacions, interpretades com a "probabilitats d'estats intermediaris imaginaris", podrien superar la unitat i, per tant, es denominen quasi-probabilitats.
Finances Les probabilitats negatives s'han aplicat més recentment a les finances matemàtiques. En les finances quantitatives, la majoria de les probabilitats no són probabilitats reals sinó pseudoprobabilitats, sovint el que es coneix com a probabilitats neutres al risc. Aquestes no són probabilitats reals, sinó "probabilitats" teòriques sota una sèrie de supòsits que ajuden a simplificar els càlculs permetent que aquestes pseudoprobabilitats siguin negatives en certs casos, tal com va assenyalar per primera vegada Espen Gaarder Haug el 2004.
Recentment, Mark Burgin i Gunter Meissner (2011) han elaborat una definició matemàtica rigorosa de les probabilitats negatives i les seves propietats. Els autors també mostren com es poden aplicar les probabilitats negatives a la fixació de preus d'opcions financeres.
Aprenentatge automàtic i processament de senyals Alguns problemes en l'aprenentatge automàtic utilitzen formulacions basades en grafs o hipergrafs amb arestes assignades amb pesos, més comunament positius. Un pes positiu d'un vèrtex a un altre es pot interpretar en una caminada aleatòria com una probabilitat d'anar del vèrtex anterior al segon. En una cadena de Markov, aquesta és la probabilitat que cada esdeveniment depengui només de l'estat assolit en l'esdeveniment anterior.
Alguns problemes en l'aprenentatge automàtic, per exemple, l'agrupació de correlacions, naturalment sovint tracten amb un graf amb signe on el pes de les arestes indica si dos nodes són similars (correlacionats amb un pes de les arestes positiu) o diferents (anticorrelacionats amb un pes de les arestes negatiu). Tractar un pes de graf com una probabilitat que els dos vèrtexs estiguin relacionats es substitueix aquí per una correlació que, per descomptat, pot ser negativa o positiva amb la mateixa legítimament. Els pesos de graf positius i negatius no són controvertits si s'interpreten com a correlacions en lloc de probabilitats, però plantegen qüestions similars, per exemple, reptes per a la normalització en el laplacià de grafs i l'explicabilitat de l'agrupació espectral per a la partició de grafs amb signe.
De la mateixa manera, en la teoria espectral de grafs, els valors propis de la matriu laplaciana representen freqüències i els vectors propis formen el que es coneix com a base de Fourier del graf que substitueix la transformada clàssica de Fourier en el processament de senyals basat en grafs. En aplicacions a la imatge, el laplacià del graf es formula de manera anàloga a l'operador de difusió anisotròpica, on una imatge suavitzada gaussiana s'interpreta com una única porció temporal de la solució a l'equació de la calor, que té la imatge original com a condicions inicials. Si el pes del graf fos negatiu, això correspondria a una conductivitat negativa a l'equació de la calor, estimulant la concentració de calor als vèrtexs del graf connectats per la vora del graf, en lloc de la dissipació normal de la calor. Tot i que la conductivitat tèrmica negativa no és física, aquest efecte és útil per al suavització d'imatges que millora les vores, per exemple, donant lloc a una afilada de les cantonades dels senyals unidimensionals, quan s'utilitza en el suavització de preservació de vores basada en grafs.
Referències
Categoria:Probabilitat