Una teoria de camps conformal bidimensional és una teoria quàntica de camps en un espai bidimensional euclidià, que és invariant sota transformacions conformes locals.

A diferència d'altres tipus de teories de camp conformals, les teories de camp conformals bidimensionals tenen àlgebres de simetria de dimensió infinita. En alguns casos, això permet resoldre-les amb exactitud, utilitzant el mètode de bootstrap conformal.

Les teories de camp conformes bidimensionals notables inclouen models mínims, teoria de Liouville, teories bosòniques lliures sense massa, models de Wess-Zumino-Witten i certs models sigma.

Estructures bàsiques Geometria Les teories de camp conformes bidimensionals (CFT) es defineixen en superfícies de Riemann, on els mapes conformal locals són funcions holomorfes. Mentre que una CFT podria existir només en una superfície de Riemann determinada, la seva existència en qualsevol superfície que no sigui l'esfera implica la seva existència en totes les superfícies. Donada una CFT, és possible enganxar dues superfícies de Riemann on existeix i obtenir la CFT a la superfície enganxada. D'altra banda, algunes CFT només existeixen a l'esfera. A menys que s'indiqui el contrari, en aquest article considerem la CFT a l'esfera.

Simetries i integrabilitat Donada una coordenada complexa local , l'espai vectorial real de les aplicacions conformes infinitesimals té la base , amb (Per exemple, i generar traduccions.) Relaxant la suposició que és el conjugat complex de , és a dir, complexificant l'espai de mapes conformes infinitesimals, s'obté un espai vectorial complex amb la base .

Amb els seus commutadors naturals, els operadors diferencials generar una àlgebra de Witt. Malauradament, l'àlgebra de Witt per si sola sempre genera un espai d'estats de partícules que té infinits estats d'energia negativa, amb l'energia de cada estat disminuint progressivament. Perquè una teoria física faci prediccions sensates en el sentit de tenir una aproximació de fase estacionària de l'acció d'expandir-se, hi ha d'haver un estat d'energia més baix anomenat buit. L'energia del buit és completament arbitrària, ja que es pot afegir una constant escalar central al hamiltonià per canviar globalment la fase sense canviar la dinàmica observable, i per tant l'energia del buit pot prendre valors negatius sempre que estigui limitada per sota. Aquest requisit és, per exemple, el que va impulsar la interpretació del mar de Dirac a abordar la predicció de l'equació de Dirac de solucions d'energia negativa, precisament perquè generen una àlgebra d'operadors de creació que pot reduir l'energia ad infinitum.

Per rectificar aquesta situació, l'àlgebra de Witt s'amplia centralment per proporcionar una varietat més rica de mòduls d'espai de Hilbert per triar, incloent-hi les anomenades representacions d'energia positiva, tot deixant intactes gairebé totes les relacions de parèntesi de Lie entre operadors. Aquesta nova àlgebra s'anomena àlgebra de Virasoro, els generadors de la qual són , més un generador central. El generador central pren un valor constant , anomenada càrrega central, i els valors de per al qual es coneix una representació d'energia positiva (ja sigui o per ).

L'àlgebra de simetria d'una CFT és el producte de dues còpies commutants de l'àlgebra de Virasoro: l'àlgebra holomorfa o de moviment a l'esquerra, amb generadors , i l'àlgebra de moviment dretà o antiholomòrfica, amb generadors P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. . Aquestes dues còpies també es coneixen com a àlgebres quirals.

En l'àlgebra envoltant universal de l'àlgebra de Virasoro, és possible construir un conjunt infinit de càrregues que es commuten mútuament. La primera càrrega és , la segona càrrega és quadràtica en els generadors de Virasoro, la tercera càrrega és cúbica, i així successivament. Això demostra que qualsevol teoria de camps conforme bidimensional també és un sistema integrable quàntic.

Espai d'estats L'espai d'estats, també anomenat espectre, d'una CFT, és una representació del producte de les dues àlgebres de Virasoro.

Per a un estat que és un vector propi de i amb els valors propis i ,

és la dimensió conformal esquerra, és la dimensió conformal correcta, és la dimensió conformal total o l'energia, és l'espín conformal.

Una CFT s'anomena racional si el seu espai d'estats es descompon en un nombre finit de representacions irreductibles del producte de les dues àlgebres de Virasoro. En una CFT racional que es defineix en totes les superfícies de Riemann, la càrrega central i les dimensions conformes són nombres racionals.

Una CFT s'anomena diagonal si el seu espai d'estats és una suma directa de representacions del tipus , on és una representació indecomposable de l'àlgebra de Virasoro per l'esquerra, i és la mateixa representació de l'àlgebra de Virasoro dreta.

La CFT s'anomena unitària si l'espai d'estats té una forma hermitiana definida positiva tal que i són autoadjunts, i Això implica en particular que , i que la càrrega central és real. L'espai d'estats és llavors un espai de Hilbert. Si bé la unitarietat és necessària perquè una CFT sigui un sistema quàntic propi amb una interpretació probabilística, moltes CFT interessants són, tanmateix, no unitàries, inclosos els models mínims i la teoria de Liouville per a la majoria dels valors permesos de la càrrega central.

Camps i funcions de correlació La correspondència estat-camp és un mapa lineal de l'espai d'estats a l'espai de camps, que commuta amb l'acció de l'àlgebra de simetria.

En particular, la imatge d'un estat primari d'una representació de pes més baix de l'àlgebra de Virasoro és un camp primari , de manera que

Els camps descendents s'obtenen dels camps primaris actuant amb els modes de creació Els camps degenerats corresponen als estats primaris de les representacions degenerades. Per exemple, el camp degenerat obeeix , a causa de la presència d'un vector nul a la representació degenerada corresponent.

Un la funció de correlació puntual és un nombre que depèn linealment de camps, denotats com a amb En la formulació de la integral de camí de la teoria de camps conforme, les funcions de correlació es defineixen com a integrals funcionals. En l'enfocament bootstrap conformeal, les funcions de correlació es defineixen mitjançant axiomes. En particular, se suposa que existeix una expansió del producte d'operadors (OPE),

on és una base de l'espai d'estats, i els nombres s'anomenen coeficients OPE. A més, se suposa que les funcions de correlació són invariants sota permutacions en els camps, en altres paraules, se suposa que l'OPE és associativa i commutativa. (commutativitat OPE no implica que els coeficients OPE siguin invariants sota , perquè s'expandeix en camps trenca aquesta simetria.)

OPE commutativity implies that primary fields have integer conformal spins . A primary field with zero conformal spin is called a diagonal field. There also exist fermionic CFTs that include fermionic fields with half-integer conformal spins , which anticommute. There also exist parafermionic CFTs that include fields with more general rational spins . Not only parafermions do not commute, but also their correlation functions are multivalued.

La funció de partició del torus és una funció de correlació particular que depèn únicament de l'espectre , i no en els coeficients OPE. Per a un tor complex amb mòdul , la funció de partició és

on La funció de partició del torus coincideix amb el caràcter de l'espectre, considerat com una representació de l'àlgebra de simetria.

Teoria de camps conformes quirals En una teoria de camps conforme bidimensional, les propietats s'anomenen quirals si es deriven de l'acció d'una de les dues àlgebres de Virasoro. Si l'espai d'estats es pot descompondre en representacions factoritzades del producte de les dues àlgebres de Virasoro, aleshores totes les conseqüències de la simetria conforme són quirals. En altres paraules, les accions de les dues àlgebres de Virasoro es poden estudiar per separat.

Tensor d'energia-moment La dependència d'un camp es suposa que la seva posició està determinada per

D'això es dedueix que l'OPE

defineix un camp localment holomorf que no depèn de Aquest camp s'identifica amb (un component del) tensor d'energia-moment.P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. . En particular, l'OPE del tensor d'energia-moment amb un camp primari és

L'OPE del tensor d'energia-moment amb si mateix és

on és la càrrega central. (Aquesta OPE és equivalent a les relacions de commutació de l'àlgebra de Virasoro.)

Identitats de sala conformal Les identitats de Ward conformal són equacions lineals que les funcions de correlació obeeixen com a conseqüència de la simetria conformal.P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. . Es poden derivar estudiant funcions de correlació que impliquen insercions del tensor d'energia-moment. Les seves solucions són blocs conformals.

Per exemple, considerem les identitats de Ward conformes a l'esfera. Sigui ser una coordenada complexa global sobre l'esfera, vista com Holomorfia del tensor d'energia-moment a és equivalent a

A més, inserir en un funció puntual dels camps primaris produeix

A partir de les dues últimes equacions, és possible deduir identitats locals de Ward que expressen funcions puntuals de camps descendents en termes de funcions puntuals de camps primaris. A més, és possible deduir tres equacions diferencials per a qualsevol funció puntual de camps primaris, anomenades identitats de Ward conformes globals:

Aquestes identitats determinen com depenen les funcions de dos i tres punts

on els coeficients de proporcionalitat indeterminats són funcions de

Equacions BPZ Una funció de correlació que implica un camp degenerat satisfà una equació diferencial parcial lineal anomenada equació de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov, en honor a Alexander Belavin, Alexander Polyakov i Alexander Zamolodchikov. L'ordre d'aquesta equació és el nivell del vector nul en la representació degenerada corresponent.

Un exemple trivial és l'equació BPZ d'ordre u

que es desprèn de

El primer exemple no trivial implica un camp degenerat amb un vector nul que s'esvaeix al nivell dos,

on està relacionat amb la càrrega central per

Aleshores un funció puntual de i altres camps primaris obeeixen:

Una equació BPZ d'ordre per a una funció de correlació que implica el camp degenerat es pot deduir a partir de l'anul·lació del vector nul i de les identitats locals de Ward. Gràcies a les identitats globals de Ward, les funcions de quatre punts es poden escriure en termes d'una variable en lloc de quatre, i les equacions BPZ per a funcions de quatre punts es poden reduir a equacions diferencials ordinàries.

Regles de fusió En una OPE que implica un camp degenerat, l'anul·lació del vector nul (més la simetria conforme) restringeix quins camps primaris poden aparèixer. Les restriccions resultants s'anomenen regles de fusió.P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. . Utilitzant el momentum de tal manera que

en lloc de la dimensió conforme per parametritzar camps primaris, les regles de fusió són

en particular

Alternativament, les regles de fusió tenen una definició algebraica en termes d'un producte de fusió associatiu de representacions de l'àlgebra de Virasoro a una càrrega central determinada. El producte de fusió difereix del producte tensorial de representacions. (En un producte tensorial, les càrregues centrals se sumen.) En certs casos finits, això condueix a l'estructura d'una categoria de fusió.