En matemàtiques, una equació diferencial parcial el·líptica és un tipus d'equació diferencial parcial (EDP). En la modelització matemàtica, les EDP el·líptiques s'utilitzen freqüentment per modelar estats estacionaris, a diferència de les EDP parabòliques i hiperbòliques, que generalment modelen fenòmens que canvien en el temps. Els exemples canònics d'EDP el·líptiques són l'equació de Laplace i l'equació de Poisson. Les EDP el·líptiques també són importants en matemàtiques pures, on són fonamentals per a diversos camps de recerca com la geometria diferencial i el transport òptim. miniatura|Derivada parcial
Definició Les equacions diferencials el·líptiques apareixen en molts contextos i nivells de generalitat diferents.
Primer considereu una EDP lineal de segon ordre per a una funció desconeguda de dues variables , escrit en la forma on , , , , , i són funcions de , utilitzant la notació de subíndex per a les derivades parcials. L'EDP s'anomena el·líptica si per analogia amb l'equació d'una el·lipse plana. Equacions amb s'anomenen parabòliques mentre que les que tenen són hiperbòliques.
Per a una EDP lineal general de segon ordre, la incògnita pot ser una funció de qualsevol nombre de variables independents. , satisfent una equació de la forma on són funcions definides al domini subjecte a la simetria . Aquesta equació s'anomena el·líptica si, observant com a funció de valorat en l'espai de matrius simètriques, tots els valors propis són més grans que alguna constant positiva: és a dir, hi ha un nombre positiu tal que per cada punt en el domini i tots els nombres reals [ 1 ]
L'exemple més simple d'una EDP el·líptica lineal de segon ordre és l'equació de Laplace, en què els coeficients són les funcions constants per , , i . L'equació de Poisson és una EDP el·líptica lineal de segon ordre lleugerament més general, en la qual no cal que s'anul·li. Per a ambdues equacions, la constant d'el·lipticitat es pot prendre com a .
La terminologia no s'utilitza de manera consistent a tota la literatura: el que alguns autors anomenen "el·líptic" ho anomenen "estrictament el·líptic" o "uniformement el·líptic " per altres.Compare and .
Equacions no lineals i d'ordre superior L'el·lipticitat també es pot formular per a classes d'equacions més generals. Per a l'EDP de segon ordre més general, que és de la forma
per a una funció donada, l'el·lipticitat es defineix linealitzant l'equació i aplicant la definició lineal anterior. Com que la linealització es fa en una funció particular , això significa que l'el·lipticitat d'una EDP de segon ordre no lineal depèn no només de l'equació en si sinó també de les solucions considerades. Per exemple, l'equació de Monge-Ampère més simple implica el determinant de la matriu hessiana de la funció desconeguda:
Tal com es desprèn de la fórmula de Jacobi per a la derivada d'un determinant, aquesta equació és el·líptica si és una funció positiva i les solucions satisfan la restricció de ser uniformement convexes.
També hi ha EDP el·líptiques d'ordre superior, l'exemple més simple de les quals és l'equació biharmònica de quart ordre. Encara més generalment, hi ha una classe important de sistemes el·líptics que consisteixen en equacions diferencials parcials acoblades per a múltiples funcions desconegudes. Per exemple, les equacions de Cauchy-Riemann de l'anàlisi complexa es poden veure com un sistema el·líptic de primer ordre per a un parell de funcions reals de dues variables.
A més, la classe d'EDP el·líptiques (de qualsevol ordre, inclosos els sistemes) està subjecta a diverses nocions de solucions febles, és a dir, reformulant les equacions de manera que permeti solucions amb diverses irregularitats (per exemple, no diferenciabilitat, singularitats o discontinuïtats), per tal de modelar fenòmens físics no suaus. Aquestes solucions també són importants en el càlcul variacional, on el mètode directe sovint produeix solucions febles per a sistemes el·líptics d'equacions d'Euler.
Forma canònica Considereu una equació diferencial parcial el·líptica de segon ordre
per a una funció de dues variables . Aquesta equació és lineal en els termes "principals" d'ordre més alt, però permet expressions no lineals que impliquen els valors de la funció i les seves primeres derivades; això de vegades s'anomena equació quasilineal.
Una forma canònica demana una transformació del domini de manera que, quan es veu com una funció de i , l'equació anterior pren la forma
per a alguna nova funció L'existència d'aquesta transformació es pot establir localment si , i són funcions reals analítiques i, amb un treball més elaborat, fins i tot si només són contínuament diferenciables. La localitat significa que les transformacions de coordenades necessàries poden no estar definides en tot el domini de , només en alguna petita regió que envolta qualsevol punt concret del domini.
Establir formalment l'existència d'aquestes transformacions utilitza l'existència de solucions a l'equació de Beltrami. Des de la perspectiva de la geometria diferencial, l'existència d'una forma canònica és equivalent a l'existència de coordenades isotermes per a la mètrica riemanniana associada.
al domini. (La condició d'el·lipticitat per a l'EDP, és a dir, la positivitat d' , és el que garanteix que aquest tensor o la seva negació sigui realment una mètrica riemanniana.)
Per a equacions diferencials parcials el·líptiques quasilineals de segon ordre en més de dues variables, no sol existir una forma canònica. Això correspon al fet que les coordenades isotermes no existeixen per a mètriques riemannianes generals en dimensions superiors, només per a unes de molt particulars.
Característiques i regularitat Per a l'EDP lineal de segon ordre general, les característiques es defineixen com les direccions nul·les per al tensor associat
anomenada símbol principal. Utilitzant la tecnologia del conjunt de fronts d'ona, les característiques són significatives per entendre com els punts irregulars de es propaguen a la solució de l'EDP. Informalment, el conjunt de fronts d'ona d'una funció consisteix en els punts de no suavitat, a més de les direccions a l'espai de freqüències que causen la manca de suavitat. És un fet fonamental que l'aplicació d'un operador diferencial lineal amb coeficients suaus només pot tenir l'efecte d'eliminar punts del conjunt del front d'ona. Tanmateix, tots els punts del conjunt original del front d'ona (i possiblement més) es recuperen sumant-los de nou a les direccions característiques (reals) de l'operador.
En el cas d'un operador el·líptic lineal amb coeficients suaus, el símbol principal és una mètrica riemanniana i no hi ha direccions característiques reals. Segons el paràgraf anterior, es dedueix que el conjunt de fronts d'ona d'una solució coincideix exactament amb el de . Això estableix un teorema de regularitat bàsic, que diu que si és suau (de manera que el seu conjunt de fronts d'ona és buit), aleshores la solució també és suau. Més generalment, els punts on no és llisa coincideixen amb els punts on no és llisa. Aquest fenomen de regularitat contrasta fortament amb, per exemple, l'EDP hiperbòlica en què es poden formar discontinuïtats fins i tot quan tots els coeficients d'una equació són suaus.
Les solucions d'EDP el·líptiques s'associen naturalment amb solucions independents del temps d'EDP parabòliques o EDP hiperbòliques. Per exemple, una solució independent del temps de l'equació de la calor resol l'equació de Laplace. És a dir, si les EDP parabòliques i hiperbòliques s'associen amb la modelització de sistemes dinàmics, aleshores les solucions de les EDP el·líptiques s'associen amb estats estacionaris. Informalment, això reflecteix el teorema de regularitat anterior, ja que els estats estacionaris són generalment versions suavitzades de solucions veritablement dinàmiques. Tanmateix, les EDP utilitzades en la modelització sovint no són lineals i el teorema de regularitat anterior només s'aplica a equacions el·líptiques lineals; a més, la teoria de la regularitat per a equacions el·líptiques no lineals és molt més subtil, amb solucions que no sempre són suaus.
Referències
Categoria:Equacions en derivades parcials