En matemàtiques, la separació de variables (també coneguda com a mètode de Fourier) és qualsevol dels diversos mètodes per resoldre equacions diferencials ordinàries i parcials, en què l'àlgebra permet reescriure una equació de manera que cadascuna de les dues variables es produeixi en un costat diferent de l'equació.
Equacions diferencials ordinàries (EDO) Una equació diferencial per a la desconeguda és separable si es pot escriure en la forma
on i es donen funcions. Això potser és més transparent quan s'escriu utilitzant com:
Així doncs, sempre que h ( y ) ≠ 0, podem reordenar els termes per obtenir:
on les dues variables x i y estan separades. Nota que dx (i dy) es pot veure, a un nivell simple, com una notació convenient, que proporciona una ajuda mnemotècnica útil per ajudar amb les manipulacions. Una definició formal de dx com a diferencial (infinitesimal) és una mica avançada.
Notació alternativa Aquells a qui no els agraden els diferencials com a entitats separades poden preferir escriure això com
però això no aconsegueix fer tan evident per què això s'anomena "separació de variables". Integrant els dos costats de l'equació respecte a , tenimo equivalentment,
a causa de la regla de substitució per a les integrals.
Si es poden avaluar les dues integrals, es pot trobar una solució a l'equació diferencial. Observeu que aquest procés ens permet tractar eficaçment la derivada com una fracció que es pot separar. Això ens permet resoldre equacions diferencials separables de manera més convenient, tal com es demostra a l'exemple següent.
(Tingueu en compte que no cal utilitzar dues constants d'integració, a l'equació () com en
perquè una sola constant és equivalent.)
Exemple El creixement de la població sovint es modela mitjançant l'equació diferencial "logística"
on és la població respecte al temps , és la taxa de creixement, i és la capacitat de càrrega de l'entorn. La separació de variables ara porta a
que s'integra fàcilment utilitzant fraccions parcials al costat esquerre, donant lloc a
on A és la constant d'integració. Podem trobar en termes de a t=0. Anotant aconseguim
Generalització d'EDO separables a l'ordre n De la mateixa manera que es pot parlar d'una EDO de primer ordre separable, es pot parlar d'una EDO separable de segon ordre, tercer ordre o enèsim ordre. Considerem l'EDO de primer ordre separable:
La derivada es pot escriure alternativament de la següent manera per subratllar que és un operador que treballa sobre la funció desconeguda, y :
Així, quan se separen variables per a equacions de primer ordre, de fet es mou el denominador dx de l'operador al costat de la variable x, i la d ( y ) es deixa al costat de la variable y. L'operador de segona derivada, per analogia, es descompon de la següent manera:
Els operadors de derivada tercera, quarta i enèsima es descomponen de la mateixa manera. Així, de la mateixa manera que una EDO separable de primer ordre és reduïble a la forma
una EDO de segon ordre separable és reduïble a la forma
i una EDO separable d'ordre n és reduïble a
Exemple Considereu la simple equació diferencial de segon ordre no lineal: Aquesta equació és només una equació de y '' i y', és a dir, que és reduïble a la forma general descrita anteriorment i, per tant, és separable. Com que és una equació separable de segon ordre, sumem totes les variables x d'un costat i totes les variables y' de l'altre per obtenir: Ara, integra el costat dret respecte a x i l'esquerra respecte a y''' : Això dóna que es simplifica a: Aquest és ara un problema integral simple que dóna la resposta final:
Equacions diferencials parcials El mètode de separació de variables també s'utilitza per resoldre una àmplia gamma d'equacions diferencials parcials lineals amb condicions de contorn i inicials, com ara l'equació de la calor, l'equació d'ona, l'equació de Laplace, l'equació de Helmholtz i l'equació biharmònica.
El mètode analític de separació de variables per resoldre equacions diferencials parcials també s'ha generalitzat en un mètode computacional de descomposició en estructures invariants que es pot utilitzar per resoldre sistemes d'equacions diferencials parcials.
Exemple: cas homogeni Considereu l'equació de calor unidimensional. L'equació és
La variable u denota la temperatura. La condició de contorn és homogènia, és a dir,
La variable u denota la temperatura. La condició de contorn és homogènia, és a dir,
Intentem trobar una solució no trivial que satisfaci les condicions de contorn però amb la propietat següent: u és un producte en què la dependència de u de x, t està separada, és a dir:Substituint u de nou a l'equació (1) i utilitzant la regla del producte,on λ ha de ser constant, ja que el costat dret només depèn de x i el costat esquerre només de t. Així:i− λ on és el valor propi per a tots dos operadors diferencials, i T(t) i X(x) són les funcions pròpies corresponents.
Ara demostrarem que no es poden trobar solucions per a X(x) per a valors de λ ≤ 0:
Suposem que λ < 0. Aleshores existeixen nombres reals B, C tals que
De (2) obtenim:i per tant B = 0 = C, la qual cosa implica que u és idènticament 0.
Suposem que λ = 0. Aleshores existeixen nombres reals B, C tals que
De (7) concloem de la mateixa manera que a 1 que u és idènticament 0.
Per tant, ha de ser el cas que λ > 0. Aleshores existeixen nombres reals A, B, C tals que
i
De (7) obtenim C = 0 i que per a algun enter positiu n ,
Això resol l'equació de la calor en el cas especial que la dependència de u tingui la forma especial de (3).
En general, la suma de solucions de (1) que satisfan les condicions de contorn (2) també satisfà (1) i (3). Per tant, es pot donar una solució completa com a
on Dn són coeficients determinats per la condició inicial.
Donada la condició inicial
podem aconseguir
Aquesta és l'expansió en sèrie sinusoidal de Fourier de f(x) que es pot sotmetre a l'anàlisi de Fourier. Multiplicant els dos costats amb i integrant sobre [0, L] resulta en
Aquest mètode requereix que les funcions pròpies X, aquí , són ortogonals i completes. En general, això està garantit per la teoria de Sturm-Liouville.
(8)
podem aconseguir
Aquesta és l'expansió en sèrie sinusoidal de Fourier de f ( x ) que es pot sotmetre a l'anàlisi de Fourier. Multiplicant els dos costats amb i integrant sobre [ 0, L ] resulta en
Aquest mètode requereix que les funcions pròpies X, aquí , són ortogonals i completes. En general, això està garantit per la teoria de Sturm-Liouville.
Exemple: cas no homogeni Suposem que l'equació no és homogènia,
(8)
amb la condició de contorn igual que (2) i la condició inicial igual que (8)on hn(t) i bn es poden calcular per integració, mentre que un(t) s'ha de determinar.
Substituïm (9) i (10) de nou a (8) i considerant l'ortogonalitat de les funcions sinusoïdals obtenim
que són una seqüència d'equacions diferencials lineals que es poden resoldre fàcilment amb, per exemple, la transformada de Laplace o el factor integrador. Finalment, podem obtenir
Si la condició de contorn no és homogènia, aleshores l'expansió de ( i ( ja no és vàlida. Cal trobar una funció v que només satisfaci la condició de contorn i restar-la de u. La funció uv llavors satisfà la condició de contorn homogènia i es pot resoldre amb el mètode anterior.
Aplicabilitat Equacions diferencials parcials Per a moltes EDP, com ara l'equació d'ona, l'equació de Helmholtz i l'equació de Schrödinger, l'aplicabilitat de la separació de variables és el resultat del teorema espectral. En alguns casos, la separació de variables pot no ser possible. La separació de variables pot ser possible en alguns sistemes de coordenades però no en altres,John Renze, Eric W. Weisstein, Separation of variables i quins sistemes de coordenades permeten la separació depenen de les propietats de simetria de l'equació.Willard Miller(1984) Symmetry and Separation of Variables, Cambridge University Press A continuació es mostra un esquema d'un argument que demostra l'aplicabilitat del mètode a certes equacions lineals, tot i que el mètode precís pot diferir en casos individuals (per exemple, en l'equació biharmònica anterior).
Matrius La forma matricial de la separació de variables és la suma de Kronecker.
Com a exemple, considerem el laplacià discret 2D en una malla regular:
on i són laplacians discrets unidimensionals en les direccions x i y'', corresponentment, i són les identitats de mides apropiades. Vegeu l'article principal Suma de Kronecker de laplacians discrets per a més detalls.
Programari Alguns programes matemàtics són capaços de fer separació de variables: Xcas entre d'altres.
Referències
Categoria:Equacions diferencials Categoria:Equacions en derivades parcials