En física i matemàtiques, i especialment en geometria diferencial i teoria de gauge, les equacions de Yang-Mills són un sistema d'equacions diferencials parcials per a una connexió en un fibrat vectorial o fibrat principal. Sorgeixen en física com les equacions d'Euler-Lagrange del funcional d'acció de Yang-Mills. També han trobat un ús significatiu en matemàtiques.
Les solucions de les equacions s'anomenen connexions de Yang-Mills. En entorns euclidians de quatre dimensions, les solucions d'acció finita autoduals o antiautoduals s'anomenen instantons. L'espai de mòduls de Yang-Mills va ser utilitzat per Simon Donaldson per demostrar el teorema de Donaldson.
Motivació Física miniatura|Aquest gràfic mostra un coeficient de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional. En el seu article fonamental sobre el tema de les teories de gauge, Robert Mills i Chen-Ning Yang van desenvolupar (essencialment independentment de la literatura matemàtica) la teoria dels fibrats principals i les connexions per tal d'explicar el concepte de simetria de gauge i invariància de gauge tal com s'aplica a les teories físiques. Les teories de gauge que van descobrir Yang i Mills, ara anomenades teories de Yang-Mills, van generalitzar el treball clàssic de James Maxwell sobre les equacions de Maxwell, que havia estat formulat en el llenguatge d'un teoria de gauge de Wolfgang Pauli i altres.Pauli, W., 1941. Relativistic field theories of elementary particles. Reviews of Modern Physics, 13(3), p.203. La novetat del treball de Yang i Mills va ser definir teories de gauge per a una elecció arbitrària del grup de Lie , anomenat grup d'estructura (o en física grup gauge, vegeu Grup gauge (matemàtiques) per a més detalls). Aquest grup podria ser no abelià, a diferència del cas corresponent a l'electromagnetisme, i el marc adequat per discutir aquests objectes és la teoria dels fibrats principals.
Els punts essencials de l'obra de Yang i Mills són els següents. Se suposa que la descripció fonamental d'un model físic és mitjançant l'ús de camps, i es deriva que sota una transformació de gauge local (canvi de trivialització local del fibrat principal), aquests camps físics s'han de transformar precisament de la manera que una connexió (en física, un camp de gauge ) sobre una transformada de fibrat principal. La intensitat del camp de gauge és la curvatura de la connexió, i l'energia del camp de gauge ve donada (fins a una constant) pel funcional d'acció de Yang-Mills
El principi de mínima acció dicta que les equacions de moviment correctes per a aquesta teoria física haurien de venir donades per les equacions d'Euler-Lagrange d'aquest funcional, que són les equacions de Yang-Mills derivades a continuació:
miniatura|Aquest gràfic mostra un coeficient de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional.
Matemàtiques A més dels orígens físics de la teoria, les equacions de Yang-Mills són d'important interès geomètric. En general, no hi ha cap elecció natural de connexió en un fibrat vectorial o un fibrat principal. En el cas especial on aquest fibrat és el fibrat tangent a una varietat riemanniana, hi ha una elecció natural, la connexió de Levi-Civita, però en general hi ha un espai de dimensió infinita d'eleccions possibles. Una connexió Yang-Mills proporciona algun tipus d'elecció natural d'una connexió per a un feix de fibres general, tal com descrivim ara.
Una connexió es defineix per les seves formes locals per a una portada oberta trivialitzant per al paquet . El primer intent d'escollir una connexió canònica podria ser exigir que aquestes formes desapareguin. Tanmateix, això no és possible tret que la trivialització sigui plana, en el sentit que les funcions de transició són funcions constants. No tots els paquets són plans, per la qual cosa això no és possible en general. En comptes d'això, es podria demanar que es formi la connexió local són ells mateixos constants. En un fibrat principal, la manera correcta de formular aquesta condició és que la curvatura desapareix. Tanmateix, segons la teoria de Chern-Weil, si la curvatura desapareix (és a dir, és una connexió plana), aleshores el fibrat principal subjacent ha de tenir classes trivials de Chern, la qual cosa és un obstacle topològic a l'existència de connexions planes: no tots els fibrats principals poden tenir una connexió plana. miniatura|Aquest gràfic proporciona un coeficient de la curvatura de l'instantó BPST restringit a una secció bidimensional de l'espai euclidià tetradimensional. El millor que es pot esperar és, doncs, demanar que, en comptes d'una curvatura nul·la, el fibrat tingui una curvatura tan petita com sigui possible. La funcional d'acció de Yang-Mills descrita anteriorment és precisament (el quadrat de) la -norma de la curvatura, i les seves equacions d'Euler-Lagrange descriuen els punts crítics d'aquesta funcional, ja siguin els mínims absoluts o els mínims locals. És a dir, les connexions de Yang-Mills són precisament aquelles que minimitzen la seva curvatura. En aquest sentit, són l'elecció natural de connexió en un fibrat principal o vectorial sobre una varietat des d'un punt de vista matemàtic. miniatura|Representació visual de la intensitat del camp instantó BPST sobre una 4-esfera.
Definició Sigui una varietat riemanniana compacta i orientada. Les equacions de Yang-Mills es poden formular per a una connexió en un fibrat vectorial o principal -paquet sobre , per a algun grup de Lie compacte . Aquí es presenta aquesta última convenció. Deixa denotar un principal -paquet sobre . Aleshores, una connexió es pot especificar mitjançant una forma diferencial amb valors d'àlgebra de Lie sobre l'espai total del fibrat principal. Aquesta connexió té una forma de curvatura , que és una forma doble amb valors al feix adjunt de . Associat a la connexió és una derivada covariant exterior , definit al fibrat adjunt. A més, des que és compacte, la seva àlgebra de Lie compacta associada admet un producte intern invariant sota la representació adjunta.
Des de és riemanniana, hi ha un producte intern al fibrat cotangent, i combinat amb el producte intern invariant a hi ha un producte intern al feix de formes de dos valors en . Des de està orientat, hi ha un -producte intern de les seccions d'aquest feix. És a dir,
on dins de la integral s'utilitza el producte intern fibra a fibra, i és la forma volumètrica riemanniana de . Utilitzant aquest -producte intern, l'operador adjunt formal de es defineix per
.
Explícitament això ve donat per on és l'operador estrella de Hodge que actua sobre dues formes.
Suposant el plantejament anterior, les equacions de Yang-Mills són un sistema d'equacions diferencials parcials (en general no lineals) donades perUhlenbeck & Freed 1984, Equation (6)Donaldson & Kronheimer 1990, Equation (2.1.34)
(1)
Com que l'estrella de Hodge és un isomorfisme, per la fórmula explícita de les equacions de Yang-Mills
(2)
Una connexió que satisfà ( ) o ( ) s'anomena connexió de Yang-Mills.
Cada connexió satisfà automàticament la identitat de Bianchi ,Donaldson & Kronheimer 1990, Equation (2.1.21) de manera que les connexions de Yang-Mills es poden veure com un anàleg no lineal de les formes diferencials harmòniques, que satisfan
.
En aquest sentit, la cerca de connexions Yang-Mills es pot comparar amb la teoria de Hodge, que busca un representant harmònic a la classe de cohomologia de de Rham d'una forma diferencial. L'analogia és que una connexió Yang-Mills és com un representant harmònic en el conjunt de totes les connexions possibles en un fibrat principal.
Aplicacions Teorema de Donaldson L'espai de mòduls de les equacions de Yang-Mills va ser utilitzat per Donaldson per demostrar el teorema de Donaldson sobre la forma d'intersecció de quatre varietats simplement connectades. Utilitzant els resultats analítics de Clifford Taubes i Karen Uhlenbeck, Donaldson va poder demostrar que en circumstàncies específiques (quan la forma d'intersecció és definida ) l'espai de mòduls dels instantons ASD en una varietat de quatre varietats suau, compacta, orientada i simplement connectada dóna un cobordisme entre una còpia de la varietat en si mateixa i una unió disjunta de còpies del pla projectiu complex Donaldson, S. K. (1983). An application of gauge theory to four-dimensional topology. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279–315.Taubes, C. H. (1982). Self-dual Yang–Mills connections on non-self-dual 4-manifolds. Journal of Differential Geometry, 17(1), 139–170.Uhlenbeck, K. K. (1982). Connections with Lp bounds on curvature. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 31–42.Uhlenbeck, K. K. (1982). Removable singularities in Yang–Mills fields. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 11–29. Podem comptar el nombre de còpies de de dues maneres: una vegada utilitzar aquesta signatura és un invariant del cobordisme, i una altra utilitzant una interpretació teòrica de Hodge de connexions reduïbles. Interpretant aquests recomptes amb cura, es pot concloure que aquesta varietat llisa té una forma d'intersecció diagonalitzable.
L'espai de mòduls dels instantons ASD es pot utilitzar per definir més invariants de quatre varietats. Donaldson va definir polinomis en el segon grup d'homologia d'una classe adequadament restringida de tetravarietats, sorgides d'aparellaments de classes de cohomologia en l'espai de mòduls.Donaldson, S. K. (1990). Polynomial invariants for smooth four-manifolds. Topology, 29(3), 257–315. Aquest treball ha estat posteriorment superat pels invariants de Seiberg-Witten.
Reducció dimensional i altres espais de mòduls Mitjançant el procés de reducció dimensional, les equacions de Yang-Mills es poden utilitzar per derivar altres equacions importants en geometria diferencial i teoria de gauge. La reducció dimensional és el procés de prendre les equacions de Yang-Mills sobre una varietat de quatre, normalment , i imposant que les solucions siguin invariants sota un grup de simetria. Per exemple:
En exigir que les equacions d'anti-autodualitat siguin invariants sota translacions en una sola direcció de , s'obtenen les equacions de Bogomolny que descriuen monopols magnètics en. En exigir que les equacions d'autodualitat siguin invariants sota translació en dues direccions, s'obtenen les equacions de Hitchin investigades per primera vegada per Hitchin. Aquestes equacions condueixen naturalment a l'estudi dels fibrats de Higgs i del sistema de Hitchin. Si es requereix que les equacions d'anti-autodualitat siguin invariants en tres direccions, s'obtenen les equacions de Nahm en un interval.
Hi ha una dualitat entre les solucions de les equacions ASD dimensionalment reduïdes en i anomenada transformada de Nahm, en honor a Werner Nahm, qui va ser el primer a descriure com construir monopols a partir de dades de l'equació de Nahm.Nahm, W. (1983). All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups. In Structural elements in particle physics and statistical mechanics (pp. 301–310). Springer, Boston, MA. Hitchin va demostrar el contrari, i Donaldson va demostrar que les solucions de les equacions de Nahm podien estar vinculades a espais de mòduls de mapes racionals des de la recta projectiva complexa fins a si mateixa.Hitchin, N. J. (1983). On the construction of monopoles. Communications in Mathematical Physics, 89(2), 145–190.
Es teoritza que la dualitat observada per a aquestes solucions es compleix per a grups duals arbitraris de simetries d'una varietat tetradimensional. De fet, hi ha una dualitat similar entre els instantons invariants sota xarxes duals dins , instantons en tors duals de quatre dimensions, i la construcció ADHM es pot considerar com una dualitat entre instantons en i dades algebraiques duals sobre un sol punt.