En matemàtiques, el diferencial fa referència a diverses nocions relacionades derivades dels primers temps del càlcul, posades sobre una base rigorosa, com ara les diferències infinitesimals i les derivades de funcions.
El terme s'utilitza en diverses branques de les matemàtiques com el càlcul, la geometria diferencial, la geometria algebraica i la topologia algebraica.
Introducció El terme diferencial s'utilitza de manera no rigorosa en càlcul per referir-se a un canvi infinitesimal ("infinitament petit") en una quantitat variable. Per exemple, si x és una variable, un canvi en el valor de x sovint es denota Δx (es pronuncia delta x). El diferencial dx representa un canvi infinitament petit en la variable x. La idea d'un canvi infinitament petit o infinitament lent és, intuïtivament, extremadament útil, i hi ha diverses maneres de fer que la noció sigui matemàticament precisa.
Mitjançant el càlcul, és possible relacionar matemàticament els canvis infinitament petits de diverses variables entre si mitjançant derivades. Si y és una funció de x, aleshores el diferencial dy de y està relacionat amb dx mitjançant la fórmula on no denota «dy dividit per dx» com es llegiria intuïtivament, sinó «la derivada de y respecte a x». Aquesta fórmula resumeix la idea que la derivada de y respecte a x és el límit de la relació de diferències Δy/Δx quan Δx tendeix a zero.
Nocions bàsiques En càlcul, el diferencial representa un canvi en la linealització d'una funció. El diferencial total és la seva generalització per a funcions de múltiples variables. En els enfocaments tradicionals del càlcul, els diferencials (per exemple, dx, dy, dt, etc.) s'interpreten com a infinitesimals. Hi ha diversos mètodes per definir els infinitesimals rigorosament, però n'hi ha prou amb dir que un nombre infinitesimal és més petit en valor absolut que qualsevol nombre real positiu, igual que un nombre infinitament gran és més gran que qualsevol nombre real. El diferencial és un altre nom per a la matriu jacobiana de derivades parcials d'una funció de Rn a Rm (especialment quan aquesta matriu es veu com una aplicació lineal). Més generalment, el diferencial o pushforward es refereix a la derivada d'una aplicació entre varietats suaus i les operacions pushforward que defineix. El diferencial també s'utilitza per definir el concepte dual de retrocés. El càlcul estocàstic proporciona una noció de diferencial estocàstic i un càlcul associat per a processos estocàstics. L'integrador en una integral de Stieltjes es representa com el diferencial d'una funció. Formalment, el diferencial que apareix sota la integral es comporta exactament com un diferencial: així, les fórmules d'integració per substitució i d'integració per parts per a la integral de Stieltjes corresponen, respectivament, a la regla de la cadena i a la regla del producte per al diferencial.
Història i ús Les quantitats infinitesimals van tenir un paper important en el desenvolupament del càlcul. Arquimedes els va fer servir, tot i que no creia que els arguments que implicaven infinitesimals fossin rigorosos. Isaac Newton les va anomenar fluxions. Tanmateix, va ser Gottfried Leibniz qui va encunyar el terme diferencials per a quantitats infinitesimals i va introduir la notació que encara s'utilitza avui dia.
En la notació de Leibniz, si x és una quantitat variable, aleshores dx denota un canvi infinitesimal en la variable x. Per tant, si y és una funció de x, aleshores la derivada de y respecte a x sovint es denota dy / dx, que altrament es denotaria (en la notació de Newton o Lagrange) ẏ o y . L'ús de diferencials en aquesta forma va rebre moltes crítiques, per exemple en el famós pamflet The Analyst del bisbe Berkeley. No obstant això, la notació ha continuat sent popular perquè suggereix fortament la idea que la derivada de y en x és la seva taxa de canvi instantània (el pendent de la recta tangent del gràfic), que es pot obtenir prenent el límit de la relació Δy/Δx quan Δ x esdevé arbitràriament petit. Els diferencials també són compatibles amb l'anàlisi dimensional, on un diferencial com ara dx té les mateixes dimensions que la variable x.
El càlcul va evolucionar fins a convertir-se en una branca diferent de les matemàtiques durant el segle XVII, tot i que hi va haver antecedents que es remuntaven a l'antiguitat. Les presentacions de, per exemple, Newton i Leibniz, es van caracteritzar per definicions no rigoroses de termes com ara diferencial, fluid i "infinitament petit". Tot i que molts dels arguments de l'obra *The Analyst* del bisbe Berkeley de 1734 són de naturalesa teològica, els matemàtics moderns reconeixen la validesa del seu argument contra "els fantasmes de les quantitats desaparegudes"; tanmateix, els enfocaments moderns no tenen els mateixos problemes tècnics. Malgrat la manca de rigor, es van fer progressos immensos als segles XVII i XVIII. Al segle XIX, Cauchy i altres van desenvolupar gradualment l'enfocament epsilon-delta de la continuïtat, els límits i les derivades, donant una base conceptual sòlida per al càlcul.
Al segle XX, diversos conceptes nous, com ara el càlcul multivariable o la geometria diferencial, semblaven encapsular la intenció dels termes antics, especialment el diferencial; tant diferencial com infinitesimal s'utilitzen amb significats nous i més rigorosos.
Els diferencials també s'utilitzen en la notació de les integrals perquè una integral es pot considerar com una suma infinita de quantitats infinitesimals: l'àrea sota un gràfic s'obté subdividint el gràfic en franges infinitament primes i sumant les seves àrees. En una expressió com ara
El signe integral (que és una s llarga modificada) denota la suma infinita, f ( x ) denota l'"alçada" d'una tira prima i el diferencial dx denota la seva amplada infinitament prima.
Enfocaments Hi ha diversos enfocaments per fer que la noció de diferencials sigui matemàticament precisa.
Diferencials com a aplicacions lineals. Aquest plantejament és la base de la definició de la derivada i la derivada exterior en geometria diferencial. Diferencials com a elements nilpotents d'anells commutatius. Aquest mètode és popular en geometria algebraica. Diferencials en models suaus de teoria de conjunts. Aquest enfocament es coneix com a geometria diferencial sintètica o anàlisi infinitesimal suau i està estretament relacionat amb l'enfocament geomètric algebraic, excepte que les idees de la teoria dels topos s'utilitzen per ocultar els mecanismes pels quals s'introdueixen els infinitesimals nilpotents. Diferencials com a infinitesimals en sistemes de nombres hiperreals, que són extensions dels nombres reals que contenen infinitesimals invertibles i nombres infinitament grans. Aquest és l'enfocament de l'anàlisi no estàndard iniciat per Abraham Robinson.
Aquests enfocaments són molt diferents entre si, però tenen en comú la idea de ser quantitatius, és a dir, dir no només que un diferencial és infinitament petit, sinó com de petit és.
Diferencials com a aplicacions lineals Hi ha una manera senzilla de donar un sentit precís als diferencials, que s'utilitza per primera vegada a la recta Real, considerant-los com a aplicacions lineals. Es pot utilitzar en , , un espai de Hilbert, un espai de Banach, o més generalment, un espai vectorial topològic. El cas de la línia Real és el més fàcil d'explicar. Aquest tipus de diferencial també es coneix com a vector covariant o vector cotangent, depenent del context.
Diferencials com a aplicacions lineals sobre R Suposem que f(x) és una funció amb valors reals definida sobre R. Podem reinterpretar la variable x en f(x) com si fos una funció en lloc d'un nombre, concretament l'aplicació identitat sobre la recta real, que porta cada nombre real p a ell mateix: x(p)=p. Aleshores, f(x) és la composició de f amb x, el valor de la qual en p és f(x(p))=f(p). La diferencial df (que, naturalment, depèn de f) és llavors una funció el valor de la qual en p (generalment denotat dfp) no és un nombre, sinó una aplicació lineal de R a R. Com que una aplicació lineal de R a R ve donada per una matriu 1×1, és essencialment el mateix que un nombre, però el canvi de punt de vista ens permet pensar en dfp com un infinitesimal i comparar-lo amb l'infinitesimal estàndard dxp, que és novament l'aplicació identitat de R a R (una matriu 1×1 amb entrada 1). L'aplicació identitat té la propietat que si ε és molt petit, aleshores dxp(ε) és molt petit, la qual cosa ens permet considerar-lo com a infinitesimal. La diferencial dfp té la mateixa propietat, perquè no és més que un múltiple de dxp, i aquest múltiple és, per definició, la derivada f′(p). Obtenim així que dfp=f′(p)dxp, i per tant df=f′dx. D'aquesta manera recuperem la idea que f′ és la raó de les diferencials df i dx.
Això només seria un truc si no fos pel fet que:
captura la idea de la derivada de a com la millor aproximació lineal a a ; té moltes generalitzacions.
Diferencials com a aplicacions lineals sobre Rn Si és una funció de a , aleshores diem que és diferenciable a si hi ha un mapa lineal de a de manera que per a qualsevol , hi ha un barri de de manera que per a ,
Ara podem utilitzar el mateix truc que en el cas unidimensional i pensar en l'expressió com el compost de amb les coordenades estàndard en (de manera que és el component -èsim de ). Aleshores, els diferencials en un punt formen una base per a l'espai vectorial de les aplicacions lineals de a i per tant, si és diferenciable a , podem escriure com una combinació lineal d'aquests elements de base:
Els coeficients són (per definició) les derivades parcials de a respecte a . Per tant, si és diferenciable en tots els , podem escriure, de manera més concisa: En el cas unidimensional, això esdevé com abans.
Aquesta idea es generalitza directament a funcions de a . A més, té l'avantatge decisiu sobre altres definicions de la derivada que és invariant sota canvis de coordenades. Això significa que la mateixa idea es pot utilitzar per definir el diferencial d'aplicacions llises entre varietats llises.
Nota a part: Tingueu en compte que l'existència de totes les derivades parcials de a és una condició necessària per a l'existència d'un diferencial a . Tanmateix, no és una condició suficient. Per a contraexemples, vegeu la derivada de Gateaux.
Diferencials com a aplicacions lineals en un espai vectorial El mateix procediment funciona en un espai vectorial amb prou estructura addicional per parlar raonablement de continuïtat. El cas més concret és un espai de Hilbert, també conegut com a espai de producte intern complet, on el producte intern i la seva norma associada defineixen un concepte adequat de distància. El mateix procediment funciona per a un espai de Banach, també conegut com a espai vectorial normat complet. Tanmateix, per a un espai vectorial topològic més general, alguns dels detalls són més abstractes perquè no hi ha el concepte de distància.
Per al cas important d'una dimensió finita, qualsevol espai de producte intern és un espai de Hilbert, qualsevol espai vectorial normat és un espai de Banach i qualsevol espai vectorial topològic és complet. Com a resultat, podem definir un sistema de coordenades a partir d'una base arbitrària i utilitzar la mateixa tècnica que per a .
Diferencials com a gèrmens de funcions Aquest mètode funciona en qualsevol varietat diferenciable. Si
i són conjunts oberts que contenen és continu és continu
aleshores és equivalent a en , denotat per , si i només si hi ha un espai obert que conté de manera que per a cada a El germen de a , denotat per , és el conjunt de totes les funcions reals contínues equivalents a en ; si és suau en aleshores és un germen llis. Si
, i són conjunts oberts que contenen , , i són funcions suaus
és un nombre real
llavors
Això demostra que els gèrmens a p formen una àlgebra.