En l'estudi dels processos estocàstics, un procés estocàstic s'adapta (també anomenat procés no anticipatiu o no anticipatiu) si es disposa d'informació sobre el valor del procés en un moment donat. Una interpretació informal és que X està adaptat si i només si, per a cada realització i cada n, X n és conegut en el temps n. El concepte de procés adaptat és essencial, per exemple, en la definició de la integral d'Itō, que només té sentit si l'integrand és un procés adaptat.
Definició sigui un espai de probabilitat; sigui un conjunt d'índexs amb un ordre total (sovint és , , o ); sigui una filtració de l'àlgebra sigma ; sigui un espai mesurable, l'espai d'estats; sigui un procés estocàstic.
El procés estocàstic es diu que està adaptat a la filtració si la variable aleatòria és un - funció mesurable per a cada
Si prenem la filtració natural F•X, on FtX és l'àlgebra σ generada per les preimatges per a subconjunts de Borel B de R i temps 0 ≤ s ≤ t, aleshores X està automàticament adaptat a F•X. Intuïtivament, la filtració natural F•X conté "informació total" sobre el comportament de X fins al temps t. Això ofereix un exemple senzill d'un procés no adaptat : fixem Ft com l'àlgebra σ trivial {∅, Ω} per a temps 0 ≤ t < 1, i Ft = FtX per a temps Com que l'única manera que una funció pugui ser mesurable respecte a la σ -àlgebra trivial és ser constant, qualsevol procés X que no sigui constant en [0, 1] no serà F • -adaptat. La naturalesa no constant d'aquest procés "utilitza informació" de les σ-àlgebres "futures" més refinades Ft, .
Referències
Categoria:Probabilitat