El caos polinòmic (PC), també anomenat expansió del caos polinòmic (PCE) i expansió del caos de Wiener, és un mètode per representar una variable aleatòria en termes d'una funció polinòmica d'altres variables aleatòries. Els polinomis s'escullen per ser ortogonals respecte a la distribució de probabilitat conjunta d'aquestes variables aleatòries. Cal tenir en compte que, malgrat el seu nom, PCE no té connexions immediates amb la teoria del caos. La paraula «caos» aquí s'ha d'entendre com a «aleatori».The use of the word "chaos" by Norbert Wiener in his 1938 publication precedes the use of "chaos" in the branch of mathematics called chaos theory by almost 40 years.

L'ECP va ser introduïda per primera vegada el 1938 per Norbert Wiener utilitzant polinomis d'Hermite per modelar processos estocàstics amb variables aleatòries gaussianes. Va ser introduït a la comunitat de física i enginyeria per R. Ghanem i PD Spanos el 1991 i generalitzat a altres famílies de polinomis ortogonals per D. Xiu i GE Karniadakis el 2002. OG Ernst i els seus col·laboradors van proporcionar proves matemàticament rigoroses de l'existència i la convergència de PCE generalitzada el 2011.

L'ECP ha trobat un ús generalitzat en enginyeria i ciències aplicades perquè permet tractar la incertesa probabilística en els paràmetres d'un sistema. En particular, l'ECP s'ha utilitzat com a model substitut per facilitar les anàlisis de quantificació d'incertesa.O’Hagan, Anthony. "Polynomial chaos: A tutorial and critique from a statistician’s perspective." SIAM/ASA J. Uncertainty Quantification 20 (2013): 1-20. L'ECP també s'ha utilitzat àmpliament en l'anàlisi d'elements finits estocàstics i per determinar l'evolució de la incertesa en un sistema dinàmic quan hi ha incertesa probabilística en els paràmetres del sistema.

Principis principals L'expansió del caos polinòmic (PCE) proporciona una manera de representar una variable aleatòria amb variància finita (és a dir, ) com a funció d'un vector aleatori dimensional , utilitzant una base polinòmica que és ortogonal respecte a la distribució d'aquest vector aleatori. El PCE prototípic es pot escriure com:

En aquesta expressió, és un coeficient i denota una funció de base polinòmica. Depenent de la distribució de , es distingeixen diferents tipus de PCE.

Caos polinòmic d'Hermite La formulació original de PCE utilitzada per Norbert Wiener es limitava al cas en què és un vector aleatori amb una distribució gaussiana. Considerant només el cas unidimensional (és a dir, i ), la funció base polinòmica ortogonal respecte a la distribució gaussiana és el conjunt de Polinomis d'Hermite de grau -èsim . El PCE de es pot escriure com:

Caos polinòmic generalitzat Xiu va generalitzar el resultat de Cameron-Martin a diverses distribucions contínues i discretes utilitzant polinomis ortogonals de l'anomenat esquema d'Askey i va demostrar convergència en l'espai funcional de Hilbert corresponent. Això es coneix popularment com el marc del caos polinòmic generalitzat (gPC). El marc gPC s'ha aplicat a aplicacions com la dinàmica de fluids estocàstica, els elements finits estocàstics, la mecànica de sòlids, l'estimació no lineal, l'avaluació d'efectes de longitud de paraula finita en sistemes digitals de punt fix no lineals i el control robust probabilístic. S'ha demostrat que els mètodes basats en gPC són computacionalment superiors als mètodes basats en Montecarlo en diverses aplicacions. Tanmateix, el mètode té una limitació notable. Per a un gran nombre de variables aleatòries, el caos polinòmic esdevé molt costós computacionalment i els mètodes de Montecarlo solen ser més factibles.

Caos polinòmic arbitrari Recentment, l'expansió del caos ha rebut una generalització cap a l'expansió arbitrària del caos polinòmic (aPC), que és una generalització de la PC basada en dades. Com totes les tècniques d'expansió del caos polinòmic, l'aPC aproxima la dependència de la sortida del model de simulació respecte als paràmetres del model mitjançant l'expansió en una base polinòmica ortogonal. L'aPC generalitza les tècniques d'expansió del caos cap a distribucions arbitràries amb mesures de probabilitat arbitràries, que poden ser discretes, contínues o contínues discretitzades i es poden especificar analíticament (com a funcions de densitat de probabilitat/distribució acumulativa), numèricament com a histograma o com a conjunts de dades en brut. La PCa a un ordre d'expansió finit només requereix l'existència d'un nombre finit de moments i no requereix el coneixement complet o fins i tot l'existència d'una funció de densitat de probabilitat. Això evita la necessitat d'assignar distribucions de probabilitat paramètriques que no estan prou avalades per les dades limitades disponibles. Alternativament, permet als modeladors triar lliurement, entre restriccions tècniques, les formes dels seus supòsits estadístics. Les investigacions indiquen que l'aPC mostra una taxa de convergència exponencial i convergeix més ràpidament que les tècniques clàssiques d'expansió del caos polinòmic. Aquestes tècniques encara estan en desenvolupament, però el seu impacte en els models de dinàmica de fluids computacional (CFD) és força impressionant.

Caos polinòmic i informació estadística incompleta En moltes situacions pràctiques, només es disposa de coneixement estadístic incomplet i inexacte sobre paràmetres d'entrada incerts. Afortunadament, per construir una expansió d'ordre finit, només es requereix informació parcial sobre la mesura de probabilitat que es pot representar simplement mitjançant un nombre finit de moments estadístics. Qualsevol ordre d'expansió només es justifica si va acompanyat d'informació estadística fiable sobre les dades d'entrada. Per tant, la informació estadística incompleta limita la utilitat de les expansions del caos polinòmic d'ordre superior.

Caos polinòmic i predicció no lineal El caos polinòmic es pot utilitzar en la predicció de funcionals no lineals de processos d'increment estacionari gaussià condicionats a les seves realitzacions passades. Concretament, aquesta predicció s'obté derivant l'expansió del caos del funcional respecte a una base especial per a l'espai gaussià de Hilbert generat pel procés que té la propietat que cada element de la base és mesurable o independent respecte a les mostres donades. Per exemple, aquest mètode condueix a una fórmula de predicció fàcil per al moviment brownià fraccionari.

Caos polinòmic bayesià En un entorn no intrusiu, l'estimació dels coeficients d'expansió per a un conjunt donat de funcions base es pot considerar com un problema de regressió bayesiana construint un model subrogat. Aquest mètode té els avantatges que ofereixen expressions analítiques per a l'evidència de dades (en el sentit de la inferència bayesiana), així com la incertesa dels coeficients d'expansió. L'evidència es pot utilitzar com a mesura per a la selecció de termes d'expansió i la poda de la sèrie (vegeu també la comparació de models bayesians). La incertesa dels coeficients d'expansió es pot utilitzar per avaluar la qualitat i la fiabilitat del PCE, i a més a més l'impacte d'aquesta avaluació en la quantitat real d'interès. .

Sigui un conjunt de parells de dades d'entrada-sortida que s'utilitzen per estimar els coeficients d'expansió . Deixa sigui la matriu de dades amb elements , deixem ser el conjunt de dades de sortida escrites en forma vectorial, i sigui el conjunt de coeficients d'expansió en forma vectorial. Sota la suposició que la incertesa de l'ECP és de tipus gaussià amb variància desconeguda i una assignació a priori invariant a l'escala, el valor esperat per als coeficients d'expansió és

Amb , aleshores la covariància dels coeficients és

on és el desajust mínim i és la matriu identitat. La incertesa de l'estimació del coeficient aleshores ve donat per . Així, la incertesa de l'estimació dels coeficients d'expansió es pot obtenir amb multiplicacions vectorials-matriuals simples. Per a una funció de densitat de propabilitat d'entrada donada , es va demostrar que el segon moment per a la quantitat d'interès és simplement

Aquesta equació suma les multiplicacions matriu-vector anteriors més la marginalització respecte a . El primer terme determina la incertesa primària de la quantitat d'interès , obtingut a partir del PCE utilitzat com a substitut. El segon terme constitueix una incertesa inferencial addicional (sovint de tipus mixt aleatori-epistemic) en la quantitat d'interès això es deu a una incertesa finita del PCE. Si es disposa de prou dades, tant en qualitat com en quantitat, es pot demostrar que esdevé insignificantment petit i esdevé petit Això es pot jutjar simplement construint les raons dels dos termes, p. ex. . Aquesta ràtio quantifica la quantitat d'incertesa pròpia del PCE en la incertesa total i es troba en l'interval . Per exemple, si , aleshores la meitat de la incertesa prové del mateix PCE, i es poden prendre mesures per millorar el PCE o recopilar més dades. Si , aleshores la incertesa del PCE és baixa i el PCE es pot considerar fiable.

En una selecció de models subrogats bayesians, la probabilitat per a un model subrogat particular, és a dir, un conjunt particular dels coeficients d'expansió i funcions bàsiques , ve donat per l'evidència de les dades ,

on és la funció gamma, és el determinant de , és el nombre de dades, i és l'angle sòlid en dimensions, on és el nombre de termes del PCE.

Es poden transferir resultats anàlegs al càlcul d'índexs de sensibilitat basats en PCE. Es poden obtenir resultats similars per al Kriging.

Referències

Categoria:Probabilitat Categoria:Matemàtiques