En matemàtiques, la convergència de Gromov–Hausdorff, que du el nom de Mikhaïl Grómov i Felix Hausdorff, és una noció de convergència d'espais mètrics que és una generalització de la distància de Hausdorff.
Distància de Grómov-Hausdorff miniatura|Com de lluny i de prop estan dues figures en la distància de Grómov-Hausdorff. La distància de Grómov-Hausdorff va ser introduïda per David Edwards l'any 1975,David A. Edwards, "The Structure of Superspace", in "Studies in Topology", Academic Press, 1975, pdf i posteriorment va ser redescoberta i generalitzada per Mikhaïl Grómov l'any 1981.M. Gromov. "Structures métriques pour les variétés riemanniennes", edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981. Aquesta distància mesura com de lluny estan dos espais mètrics compactes de ser isomètrics. Siguin X i Y does espais mètrics compactes, llavors es defineix dGH (X, Y) com l'ínfim de tots els nombres dH(f(X), g(Y)) per tots els espais mètrics (compactes) M i tots els embeddings isomètrics f : X → M i g : Y → M. Aquí, dH denota la distància de Hausdorff entre els subconjunts en M i l'embedding isomètric s'enten en el sentit global, és a dir ha de preservar totes les distàncies, no només les que són infinitesimalment petites; per exemple, no hi ha cap varietat riemanniana que admeti tal embedding en un espai euclidià de la mateixa dimensió.
La distància de Grómov-Hausdorff converteix el conjunt de totes les classes d'isometria d'espais mètrics compactes en un espai mètric, anomenat l'espai de Grómov-Hausdorff, i per tant defineix una noció de convergència de seqüències d'espais mètrics compactes, anomenada convergència de Grómov-Hausdorff. Un espai mètric al qual convergeix una seqüència tal rep el nom de límit de Grómov-Hausdorff de la seqüència.
Algunes propietats de l'espai de Grómov-Hausdorff L'espai de Grómov-Hausdorff és connex per camins, complet, i separable.Dmitri Burago, Yuri Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, AMS GSM 33, 2001. També és un espai geodèsic, és a dir, tots dos punts seus qualssevol són els extrems d'una geodèsica que minimitza la distància.Per a la construcció explícita de les geodèsiques, vegi's En el sentit global, l'espai de Grómov-Hausdorff és totalment heterogeni, és a dir el seu grup isomètric és trivial, but locally there are many nontrivial isometries.
Aplicacions La noció de la convergència de Grómov-Hausdorff va ser utilitzada per Grómov per demostrar que tot grup discret amb creixement polinòmic és virtualment nilpotent (és a dir, conté un subgrup nilpotent d'índex finit). L'ingredient clau en la demostració era que l'observació que pel graf de Cayley d'un grup de creixement polinòmic una seqüència d'escalaments convergeix en el sentit puntual de Grómov-Hausdorff.
Un altre resultat simple i molt útil en la geometria riemanniana és el teorema de compactesa de Grómov, que afirma que el conjunt de varietats riemannianes amb curvatura de Ricci ≥ c i diàmetre ≤ D és relativament compacte en la mètrica de Grómov-Hausdorff. Els espais límits són espais mètrics. Cheeger i Colding han demostrat propietats adicionals en els espais de longitud.
S'ha aplicat la distància de Grómov-Hausdorff en el camp de la informàtica gràfica i la geometria computacional per trobar correspondències entre diferents formes. També s'ha aplicat en el problema de planificació del moviment en robòtica.
Christina Sormani va utilitzar la distància de Grómov-Hausdorff per demostrar l'estabilitat d'un model de Friedmann en cosmologia. Aquest model de cosmologia no és estable respecte de variacions suaus de la mètrica.
En un cas especial, el concepte dels límits de Grómov-Hausdorff està estretament relacionat amb la teoria de les grans desviacions.
Referències
Categoria:Geometria riemanniana