alt=Soliton scattering process for two solitons in the integrable chiral model. The plot shows the energy density of the system, and the maxima represent the solitons. They approach along one axis, collide to form a single lump, then scatter at 90 degrees.|miniatura|480x480px|Procés de dispersió de solitons per a dos solitons en el model quiral integrable. El gràfic mostra la densitat d'energia del sistema i els màxims representen els solitons. En física nuclear, el model quiral, introduït per Feza Gürsey el 1960, és un model fenomenològic que descriu les interaccions efectives dels mesons en el límit quiral (on les masses dels quarks tendeixen a zero), però sense necessàriament esmentar els quarks. És un model sigma no lineal amb l'espai principal homogeni d'un grup de Lie com la seva varietat objectiu. Quan es va introduir originalment el model, aquest grup de Lie era el SU(N), on N és el nombre de sabors de quarks. La mètrica riemanniana de la varietat objectiu ve donada per una constant positiva multiplicada per la forma de Killing que actua sobre la forma de Maurer-Cartan de SU( N ).
La simetria global interna d'aquest model és , les còpies esquerra i dreta, respectivament; on la còpia esquerra actua com l'acció esquerra sobre l'espai objectiu i la còpia dreta actua com l'acció dreta. Fenomenològicament, la còpia esquerra representa les rotacions de sabor entre els quarks esquerrà, mentre que la còpia dreta descriu les rotacions entre els quarks dretà, mentre que aquests, L i R, són completament independents entre si. Les peces axials d'aquestes simetries es trenquen espontàniament de manera que els camps escalars corresponents són els bosons de Nambu-Goldstone necessaris.
El model es va estudiar posteriorment en el cas bidimensional com un sistema integrable, en particular una teoria de camps integrables. La seva integrabilitat va ser demostrada per Faddeev i Reshetikhin el 1982 mitjançant el mètode de dispersió inversa quàntica. El model quiral principal bidimensional presenta signatures d'integrabilitat com ara una formulació de parell Lax /curvatura zero, un nombre infinit de simetries i una simetria de grup quàntic subjacent (en aquest cas, simetria Yangiana).
Aquest model admet solitons topològics anomenats esquirmions.
Les desviacions de la simetria quiral exacta es tracten en la teoria de pertorbacions quirals.
Formulació matemàtica En una varietat (considerada com l'espai-temps) i una elecció del grup de Lie compacte , el contingut del camp és una funció . Això defineix un camp relacionat , un camp vectorial amb valors (en realitat, camp covectorial) que és la forma de Maurer-Cartan. El model quiral principal es defineix per la densitat lagrangiana on és un acoblament adimensional. En llenguatge geomètric diferencial, el camp és una secció d'un feix principal amb fibres isomòrfiques a l'espai principal homogeni per a (d'aquí que això defineix el model quiral principal ).
Fenomenologia Un esquema del model original de 2 sabors El model quiral de Gürsey (1960; vegeu també Gell-Mann i Lévy) ara s'aprecia com una teoria eficaç de la QCD amb dos quarks lleugers, u i d. El lagrangià de la QCD és aproximadament invariant sota rotacions de sabor globals independents dels camps de quarks esquerrògens i dextrògens,
on denoten les matrius de Pauli a l'espai de sabors i R són els angles de rotació corresponents.
El grup de simetria corresponent és el grup quiral, controlat pels sis corrents conservats
que es pot expressar igualment bé en termes de corrents vectorials i vectorials axials
Les càrregues conservades corresponents generen l'àlgebra del grup quiral,
amb o, equivalentment,
L'aplicació d'aquestes relacions de commutació a les reaccions hadròniques va dominar els càlculs d'àlgebra actuals a principis dels anys setanta.
A nivell d'hadrons, mesons pseudoescalars, l'àmbit del model quiral, el quiral el grup es divideix espontàniament en pel buit QCD. És a dir, es realitza de manera no lineal, en el mode de Nambu-Goldstone: les aniquilen el buit, però les Q A no! Això es visualitza bé mitjançant un argument geomètric basat en el fet que l'àlgebra de Lie de és isomorf al de SO(4). El subgrup ininterromput, realitzat en el mode lineal de Wigner-Weyl, és que és localment isomorf a SU(2) (V: isospín).
Per construir una realització no lineal de SO(4), la representació que descriu rotacions quadridimensionals d'un vector
per a una rotació infinitesimal parametritzada per sis angles
ve donat per
on
Les quatre quantitats reals defineixen el multiplet quiral no trivial més petit i representen el contingut de camp del model sigma lineal.
Per canviar de la realització lineal anterior de SO(4) a la no lineal, observem que, de fet, només tres dels quatre components de són independents respecte a les rotacions quadridimensionals. Aquests tres components independents corresponen a coordenades sobre una hiperesfera S3, on i estan sotmesos a la restricció
amb una constant de desintegració dels pions amb dimensió = massa.
Si s'utilitza això per eliminar s'obtenen les següents propietats de transformació de sota SO(4),
Els termes no lineals ( desplaçant) a la dreta de la segona equació subjauen a la realització no lineal de SO(4). El grup quiral es realitza de manera no lineal en el triplet de pions, que, tanmateix, encara es transformen linealment sota isospín rotacions parametritzades a través dels angles En canvi, elrepresenten els "desplaçaments" no lineals (trencaments espontanis).
A través del mapa d'espinors, aquestes rotacions tetradimensionals de també es poden escriure convenientment utilitzant la notació matricial 2×2 introduint la matriu unitària
i requerint que les propietats de transformació d' sota rotacions quirals siguin
on
La transició a la realització no lineal segueix,
on denota la traça a l'espai de sabor. Aquest és un model sigma no lineal.
Termes que impliquen o no són independents i es poden portar a aquesta forma mitjançant integració parcial. La constant
Parametrització alternativa Una parametrització alternativa, equivalent (Gürsey, 1960),
dóna una expressió més simple per a U ,
Observeu la transformada reparametritzada sota
així doncs, manifestament idènticament a l'anterior sota isorotacions, ; i similarment a l'anterior, com
sota les simetries trencades, , els desplaçaments. Aquesta expressió més simple es generalitza fàcilment (Cronin, 1967) a quarks lleugers, de manera que
Integrabilitat Model quiral integrable Introduït per Richard S. Ward, el model quiral integrable o model de Ward es descriu en termes d'un camp amb valors matricials i ve donat per l'equació diferencial parcial Té una formulació lagrangiana amb el terme cinètic esperat juntament amb un terme que s'assembla a un terme de Wess-Zumino-Witten. També té una formulació que és formalment idèntica a les equacions de Bogomolny però amb signatura de Lorentz. La relació entre aquestes formulacions es pot trobar a .
Es coneixen moltes solucions exactes.
Model quiral principal bidimensional Aquí la varietat subjacent es considera una superfície de Riemann, en particular el cilindre o avió , coordenades reals donades convencionalment , on al cilindre és una coordenada periòdica. Per a l'aplicació a la teoria de cordes, aquest cilindre és la làmina del món escombrada per la corda tancada.
Simetries globals Les simetries globals actuen com a simetries internes en el camp amb valors de grup com i . Els corrents conservats corresponents del teorema de Noether són Les equacions de moviment resulten ser equivalents a la conservació d'aquests corrents, Els corrents a més satisfan la condició de planitud, i per tant les equacions del moviment es poden formular completament en termes dels corrents.
En quantitzar-los, la combinació axial d'aquests corrents desenvolupa anomalies quirals, resumides en el terme topològic WZWN esmentat anteriorment.
Formulació lax Considereu la làmina del món en coordenades de con de llum . Els components de la matriu de Lax adequada són El requisit que la condició de curvatura zero en per a tots és equivalent a la conservació del corrent i la planitud del corrent , és a dir, les equacions de moviment del model quiral principal (PCM).
Referències
Categoria:Mecànica quàntica