La transformada inversa de Belinski-Zakharov és una transformació no lineal que genera noves solucions exactes de l'equació del camp d'Einstein en el buit. Va ser desenvolupat per Vladimir Belinski i Vladimir Zakharov el 1978. La transformada de Belinski-Zakharov és una generalització de la transformada de dispersió inversa. Les solucions produïdes per aquesta transformació s'anomenen solitons gravitacionals (gravisolitons). Tot i que el terme «solitó» s'utilitza per descriure els solitons gravitacionals, el seu comportament és molt diferent d'altres solitons (clàssics). En particular, els solitons gravitacionals no preserven la seva amplitud i forma al llarg del temps, i fins al juny de 2012 la seva interpretació general continua sent desconeguda. El que se sap, però, és que la majoria dels forats negres (i en particular la mètrica de Schwarzschild i la mètrica de Kerr) són casos especials de solitons gravitacionals.

Introducció La transformada de Belinski-Zakharov funciona per a intervals d'espai-temps de la forma

on fem servir la convenció de suma d'Einstein per a . Se suposa que tant la funció i la matriu depenen només de les doordinades i . Tot i ser una forma específica de l'interval espai-temps que depèn només de dues variables, inclou un gran nombre de solucions interessants com a casos especials, com ara la mètrica de Schwarzschild, la mètrica de Kerr, la mètrica d'Einstein-Rosen i moltes altres.

En aquest cas, l'equació del buit d'Einstein es descompon en dos conjunts d'equacions per a la matriu ⁠ la funció f. Usant coordenades de con de llum ⁠⁠, la primera equació per a la matriu g és

on a és l'arrel quadrada del determinant de ⁠g ⁠, és a dir,

El segon conjunt d'equacions és

Prenent la traça de l'equació matricial per a revela que, de fet, satisfà l'equació d'ona

Parell Lax Considereu els operadors lineals definit per

on és un paràmetre espectral complex auxiliar. Un càlcul simple mostra que, com que satisfà l' equació d'ona, . Aquest parell d'operadors fan la feina diàriament, aquest és el parell Lax.

L'essència de la transformada de dispersió inversa és reescriure l'equació no lineal d'Einstein com un sistema d'equacions lineal sobredeterminat per a una nova funció matricial Considereu les equacions de Belinski-Zakharov:

Si operem sobre el membre de l'esquerra de la primera equació amb D2 i sobre el de la segona amb D1, i en restem els resultats, el membre de l'esquerra s'anul·la gràcies a la commutativitat de D1 i D2. Pel que fa al membre de la dreta, un breu càlcul demostra que, efectivament, també s'anul·la precisament quan g satisfà l'equació matricial no lineal d'Einstein.

Això significa que les equacions lineals sobredeterminades de Belinski-Zakharov són resolubles simultàniament exactament quan resol l'equació matricial no lineal. Es pot restaurar fàcilment de la funció amb valor matricial mitjançant un procés limitador simple. Prenent el límit en les equacions de Belinski-Zakharov i multiplicant per des de la dreta dóna

Així, una solució del problema no lineal l'equació s'obté a partir d'una solució de l'equació lineal de Belinski-Zakharov mitjançant una simple avaluació

Referències

Categoria:Relativitat general