En estadística descriptiva, la moda d'una variable estadística quantitativa és aquell valor que té una freqüència més gran. Quan la variable és discreta (amb pocs valors possibles) la moda està completament determinada, però quan la variable pot prendre molts valors diferents o és contínua, llavors es parla de classe o interval modal, que és la classe que té una freqüència més gran.
Gràficament es determina mirant al diagrama de barres (si la variable és discreta) o a l'histograma el valor màxim. Quan el diagrama de barres o l'histograma tenen diversos màxims locals, aleshores es parla de variables o distribucions estadístiques bimodals o trimodals, etc.
Definició En estadística, la moda és el valor que apareix més sovint en un conjunt de valors de dades. Si és una variable aleatòria discreta, la moda és el valor en què la funció de massa de probabilitat pren el seu valor màxim, és a dir, . En altres paraules, és el valor que és més probable que es mostregi.
Igual que la mitjana i la mediana estadístiques, la moda és una estadística resumida sobre la tendència central d'una variable aleatòria o d'una població. El valor numèric de la moda és el mateix que el de la mitjana i la mediana en una distribució normal, però pot ser molt diferent en distribucions molt asimètriques.
La moda no és necessàriament única en una distribució discreta donada, ja que la funció de massa de probabilitat pot prendre el mateix valor màxim en diversos punts etc. El cas més extrem es produeix en distribucions uniformes, on tots els valors es produeixen amb la mateixa freqüència.
Sovint es considera que una moda d'una distribució de probabilitat contínua és qualsevol valor en el qual la seva funció de densitat de probabilitat té un valor màxim local. Quan la funció de densitat de probabilitat d'una distribució contínua té múltiples màxims locals, és comú referir-se a tots els màxims locals com a moda de la distribució, de manera que qualsevol pic és una moda. Aquesta distribució contínua s'anomena multimodal (a diferència d'unimodal).
En distribucions unimodals simètriques, com ara la distribució normal, la mitjana (si està definida), la mediana i la moda coincideixen. En el cas de les mostres, si se sap que provenen d'una distribució unimodal simètrica, la mitjana mostral es pot utilitzar com a estimació de la moda de la població.
Mode d'una mostra La moda d'una mostra és l'element que apareix més sovint a la col·lecció. Per exemple, la moda de la mostra [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] és 6. Donada la llista de dades [1, 1, 2, 4, 4], la seva moda no és única. Un conjunt de dades, en aquest cas, es diu bimodal, mentre que un conjunt amb més de dues modes es pot descriure com a multimodal.
Per a una mostra d'una distribució contínua, com ara [0,935..., 1,211..., 2,430..., 3,668..., 3,874...], el concepte és inutilitzable en la seva forma crua, ja que no hi haurà dos valors exactament iguals, de manera que cada valor apareixerà precisament una vegada. Per tal d'estimar la moda de la distribució subjacent, la pràctica habitual és discretitzar les dades assignant valors de freqüència a intervals d'igual distància, com per fer un histograma, substituint efectivament els valors pels punts mitjans dels intervals als quals estan assignats. La moda és llavors el valor on l'histograma arriba al seu màxim. Per a mostres petites o mitjanes, el resultat d'aquest procediment és sensible a l'elecció de l'amplada de l'interval si es tria massa estret o massa ample; normalment s'hauria de tenir una fracció considerable de les dades concentrada en un nombre relativament petit d'intervals (de 5 a 10), mentre que la fracció de les dades que cauen fora d'aquests intervals també és considerable. Un enfocament alternatiu és l'estimació de la densitat del nucli, que essencialment desdibuixa les mostres puntuals per produir una estimació contínua de la funció de densitat de probabilitat que pot proporcionar una estimació de la moda.
El següent exemple de codi MATLAB (o Octave) calcula el mode d'una mostra:X = sort(x); % x és un conjunt de dades de vectors de columna
indexs= find(diff([X, realmax]) > 0); %índexs on els valors repetits canvien
[modeL,i] = max (diff([0, indexs])); %longitud de persistència més llarga de valors repetits
mode = X(indexs(i));L'algoritme requereix, com a primer pas, ordenar la mostra en ordre ascendent. A continuació, calcula la derivada discreta de la llista ordenada i troba els índexs on aquesta derivada és positiva. A continuació, calcula la derivada discreta d'aquest conjunt d'índexs, localitzant el màxim d'aquesta derivada d'índexs i, finalment, avalua la mostra ordenada en el punt on es produeix aquest màxim, que correspon a l'últim membre del tram de valors repetits.
Comparació de mitjana, mediana i moda miniatura|Visualització geomètrica de la moda, la mediana i la mitjana d'una funció de densitat de probabilitat arbitrària.
+Comparació de mitjanes comunes de valors { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 } Tipus Descripció Exemple Resultat Mitjana aritmètica Suma de valors d'un conjunt de dades dividida pel nombre de valors (1+2+2+3+4+7+9) / 7 4 Mediana Valor central que separa les meitats major i menor d'un conjunt de dades 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 3 Mode Valor més freqüent en un conjunt de dades 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 2
Ús A diferència de la mitjana i la mediana, el concepte de moda també té sentit per a les dades nominals (és a dir, que no consisteixen en valors numèrics en el cas de la mitjana, o fins i tot en valors ordenats en el cas de la mediana). Per exemple, prenent una mostra de cognoms coreans, es podria trobar que Kim apareix més sovint que qualsevol altre nom. Aleshores, Kim seria la moda de la mostra. En qualsevol sistema de votació on una pluralitat determina la victòria, un únic valor modal determina el vencedor, mentre que un resultat multimodal requeriria algun procediment de desempat.
A diferència de la mediana, el concepte de moda té sentit per a qualsevol variable aleatòria que assumeixi valors d'un espai vectorial, incloent-hi els nombres reals (un espai vectorial unidimensional) i els nombres enters (que es poden considerar immersos en els reals). Per exemple, una distribució de punts en el pla normalment tindrà una mitjana i una moda, però el concepte de mediana no s'aplica. La mediana té sentit quan hi ha un ordre lineal en els valors possibles. Les generalitzacions del concepte de mediana a espais de dimensions superiors són la mediana geomètrica i el punt central.
Singularitat i definició Per a algunes distribucions de probabilitat, el valor esperat pot ser infinit o indefinit, però si està definit, és únic. La mitjana d'una mostra (finita) sempre està definida. La mediana és el valor tal que les fraccions que no el superen ni el baixen són cadascuna com a mínim 1/2. No és necessàriament única, però mai infinita ni totalment indefinida. Per a una mostra de dades, és el valor intermedi quan la llista de valors s'ordena en valor creixent, on normalment per a una llista de longitud parell es pren la mitjana numèrica dels dos valors més propers a intermedi. Finalment, com s'ha dit abans, la moda no és necessàriament única. Certes distribucions patològiques (per exemple, la distribució de Cantor) no tenen cap moda definida. Per a una mostra de dades finites, la moda és un (o més) dels valors de la mostra.
Propietats Assumint definició, i per simplificar, singularitat, les següents són algunes de les propietats més interessants.
Les tres mesures tenen la propietat següent: si la variable aleatòria (o cada valor de la mostra) se sotmet a la transformació lineal o afí, que substitueix per , també ho fan la mitjana, la mediana i la moda.
Excepte per a mostres extremadament petites, la moda és insensible als valors atípics (com ara lectures experimentals ocasionals, rares i falses). La mediana també és molt robusta en presència de valors atípics, mentre que la mitjana és força sensible.
En distribucions unimodals contínues, la mediana sovint es troba entre la mitjana i la moda, aproximadament un terç del camí que va de la mitjana a la moda. En una fórmula, la mediana ≈ (2 × mitjana + moda)/3. Aquesta regla, deguda a Karl Pearson, sovint s'aplica a distribucions lleugerament no simètriques que s'assemblen a una distribució normal, però no sempre és certa i, en general, els tres estadístics poden aparèixer en qualsevol ordre.
Per a distribucions unimodals, la moda es troba dins de desviacions estàndard de la mitjana, i la desviació arrel quadràtica mitjana al voltant de la moda es troba entre la desviació estàndard i el doble de la desviació estàndard.
Exemple d'una distribució asimètrica Un exemple d'una distribució esbiaixada és la riquesa personal: poques persones són molt riques, però entre altres algunes són extremadament riques. Tanmateix, moltes són força pobres. miniatura|300x300px|Comparació de la mitjana, la mediana i la moda de dues distribucions log-normals amb diferent asimetria.
Una classe ben coneguda de distribucions que es poden asimètricar arbitràriament és la distribució log-normal. S'obté transformant una variable aleatòria que té una distribució normal en una variable aleatòria Aleshores, el logaritme de la variable aleatòria té una distribució normal, d'aquí el nom.
Si la mitjana μ de és 0, la mediana de serà 1, independent de la desviació estàndard σ de Això és així perquè té una distribució simètrica, de manera que la seva mediana també és 0. La transformació de a és monòtona, i per tant trobem la mediana per a
Quan té una desviació estàndard σ = 0,25, la distribució de està feblement asimètrica. Utilitzant fórmules per a la distribució log-normal, trobem: De fet, la mediana es troba aproximadament un terç del camí de la mitjana a la moda.
Quan té una desviació estàndard més gran, , la distribució de està fortament esbiaixada. Ara Aquí, la regla general de Pearson falla.
Condició de Van Zwet Van Zwet va derivar una desigualtat que proporciona condicions suficients perquè aquesta desigualtat es compleixi. La desigualtat
es compleix si
per a tot on és la funció de distribució acumulativa de la distribució.
Distribucions unimodals Es pot demostrar per a una distribució unimodal que la mediana i la mitjana es troben dins de (3/5) 1/2 ≈ 0,7746 desviacions estàndard entre si. En símbols,
on és el valor absolut.
Una relació similar es manté entre la mediana i la moda: es troben dins de 3 1/2 ≈ 1.732 desviacions estàndard l'una de l'altra:
Història El terme mode té els seus orígens amb Karl Pearson el 1895.
Pearson utilitza el terme mode indistintament amb ordenada màxima. En una nota a peu de pàgina diu: «He trobat convenient utilitzar el terme mqode per a l'abscissa corresponent a l'ordenada de freqüència màxima».
Exemples Variable discreta Segons dades de la Dirección General de Tráfico'' a Catalunya el mes de març de 2019 es van presentar a l'examen de conduir de cotxe 15.422 persones, de les quals van aprovar 6.903 (45%) i van suspendre 8.519 (55%). Les persones que van aprovar, segons la convocatòria a la qual es presentaven, es distribueixen de la següent manera:
El diagrama de barres corresponent es troba a la Figura 1. miniatura|Figura 5. Distribució dels aprovats a l'examen de conduir segons el nombre de convocatòries La moda d'aquesta variable és 1, és a dir, el valor més freqüent és aprovar a la primera convocatòria (almenys el mes de març de 2019)
Variable contínua La següent taula dona les notes d'un examen d'un grup d'estudiants Aquí hem utilitzat la notació habitual dels Intervals, on designa tots els nombres entre 0 i 2, inclosos 0 i 2; designa tots els nombres entre 2 i 4, exclòs el 2 i inclòs el 4, etc. Vegeu a la pàgina Taula de freqüències unes indicacions sobre aquest punt. A la Figura 2 hi ha l'histograma de freqüències absolutes miniatura|Figura 2. Histograma de les notes
L'interval modal és (4,6].
Distribució bimodal