miniatura|Integral com a àrea entre dues corbes. La integral múltiple és un tipus d'integral definida estesa a funcions de més d'una variable real, per exemple, o . miniatura|Integral doble com el volum davall d'una superfície. La regió rectangular de la base del cos és el domini d'integració, mentre que la superfície és el gràfic de la funció a integrar.
Igual que la integral definida d'una funció positiva d'una variable representa l'àrea de la regió entre el gràfic de la funció i l'eix x, la integral doble d'una funció positiva de dues variables representa el volum de la regió compresa entre la funció i el pla que conté el seu domini. (El mateix volum es pot obtenir a través d'una integral triple — la integral de la funció de tres variables — de la funció constant f(x, y, z) = 1 sobre la regió esmentada abans entre la superfície i el pla, el mateix es pot fer amb una integral doble per calcular una superfície.) Si el nombre de variables és més gran, llavors la integral representa un hipervolum, el volum d'un sòlid de més de tres dimensions que no es pot representar gràficament. La integració múltiple d'una funció de variables: sobre un domini normalment es representa a base d'una sèrie de signes d'integració en l'ordre invers d'execució (el signe d'integració de més a l'esquerra és el que es calcula últim) seguida per la funció i la llista dels arguments d'integració en l'ordre directe (l'argument de més a la dreta és l'últim que es calcula). El domini d'integració es representa simbòlicament, o bé per a cada integrand a cada signe integral, o sovint és abreviat amb una variable davall del signe integral de més a la dreta:
Exemples Per exemple, el volum del paral·lelepípede de cares 4 × 6 × 5 es pot obtenir de dues maneres: Amb la integral doble
de la funció f(x, y) = 5 calculada a la regió D del pla xy que és la base del paral·lelepípede. Per la integral triple
de la funció constant 1 calculada sobre el paral·lelepípede mateix.
Definició matemàtica Sia n un enter més gran que 1. Es considera el que s'anomena un rectangle n-dimensional semiobert (a partir d'aqui anomenat simplement rectangle). Per a un pla, n = 2, i la integral múltiple és només una integral doble.
Es divideix cada interval en un nombre finit de subintervals que no s'encavalquen, i de forma que cada subinterval és tancat al cantó esquerre i obert al cantó dret. Aquest subintervals s'indicaran per Llavors, la familia de subrectangles de la forma
és una partició de és a dir, els subrectangles no s'encavalquen i la seva unió és El diàmetre d'un subrectangle és, per definició, la més gran de les longituds dels intervals el producte dels quals és i el diàmetre d'una partició donada de es defineix com el més gran dels diàmetres dels subrectangles de la partició.
Sia una funció definida en un rectangle Es considera la partició
de definida tal com s'ha explicat més amunt, on és un enter positiu. Una suma de Riemann és una suma de la forma
On per a cada el punt és a i és el producte de les longituds dels intervals, el producte cartesià dels quals és
La funció es diu que és integrable Riemann si el límit
existeix, on el límit es pren sobre totes les posicions possibles de de diàmetre com màxim si és integrable Riemann, s'anomena la integral de Riemann de sobre i s'escriu
La integral de Riemann d'una funció definida sobre un conjunt n-dimensional amb una frontera arbitrària es pot definir a base d'estendre la funció a una funció definida sobre un rectangle semiobert els valors de la qual són zero fora del domini de la funció original. Llavors, la integral de la funció original sobre el domini original, es defineix com la integral de la funció estesa sobre el seu domini rectangular, si existeix.
En el que segueix, de la integral de Riemann en n dimensions se'n dirà integral múltiple.
Propietats Les integrals múltiples tenen la majoria de les propietats de les integrals de les funcions d'una variable (linealitat, additivitat, monotonia, etc.). A més, igual que en el cas d'una variable, es pot emprar la integral múltiple per a trobar la mitjana d'una funció sobre un conjunt donat. De forma més específica, donat un conjunt i una funció integrable sobre , el valor mitjà de sobre aquest domini ve donat per
on és la mesura de .
Casos particulars En el cas de la integral
És la integral doble de F sobre T, i si la integral
és la integral triple de F sobre T.
Fixeu-vos que, per convenció, la integral doble té dos signe d'integració, i la integral triple en té tres; això és només una conveniència que va bé en el cas que es calculi una integral múltiple com una integral iterada (com s'explica tot seguit).
Integrals múltiples i integrals iterades. El teorema de Fubini estableix que si
és a dir, si la integral és absolutament convergent, llavors la integral múltiple donarà el mateix resultat que la integral iterada,
En particular això passarà si és una funció fitada i A i B són conjunts fitats.
Si la integral no és absolutament convergent, cal anar amb compte i no confondre els conceptes de integral múltiple i integral iterada, especialment perquè la mateixa notació sovint es fa servir per als dos conceptes. La notació
Significa, en alguns casos, una integral iterada en comptes d'una autèntica integral doble. En una integral iterada, la integral exterior
És la integral respecte de x de la següent funció de x:
Per altra banda, una integral doble, es defineix respecte del pla xy. Si la integral doble existeix, llavors és igual a cada una de les dues integrals iterades ("dy dx" o "dx dy") i sovint es calcula a base de calcular alguna de les integrals iterades. Però de vegades les dues integrals iterades existeixen mentre que la integral doble no, i en alguns d'aquests casos les dues integrals iterades donen nombres diferents, per exemple, es té
Aquest és un exemple de reordenació d'una integral condicionalment convergent.
Es pot emprar la notació
Si es vol emfatitzar la intenció de referir-se a una integral doble en comptes d'una integral iterada.
Mètodes d'integració La resolució de problemes amb integrals múltiples consisteix en la majoria dels casos en trobar la forma de reduir la integral múltiple a una integral iterada, de forma que cada una de les integrals d'una variable siguin resolubles directament.
Examen directe De vegades, és possible obtenir el resultat de la integració sense cap càlcul directe.
Constants En el cas d'una funció constant, el resultat és directe: simplement es multiplica la mesura del domini d'integració per al constant que dona la funció c. Si c = 1, i s'integra sobre una subregió de R² això dona l'àrea d'aquesta regió, mentre que a R3 és el volum de la regió. Per exemple:
i
Integrant f sobre D:
Utilització de possibles simetries En el cas de dominis on hi ha simetries respecte d'almenys un dels eixos i quan la funció té com a mínim una paritat respecte a una variable, la integral s'anul·la (la suma dels valors oposats i dels valors iguals dona zero).
En funcions de Rn n'hi ha prou que la variable dependent sigui imparella respecte a l'eix de simetria. Exemple (1): Donada la funció i l'àrea d'integració (disc amb radi 1 centrat a l'origen de coordenades, frontera inclosa).
Emprant la propietat de la linealitat la integral es pot descompondre en tres trossos:
2 sin(x) i 3y3 són totes dues funcions imparelles i a més és evident que el disc T té simetria respecte a l'eix x i també respecte a l'eix y; per tant l'única contribució al resultat final de la integral és la que ve de la funció constant 5 perquè els altres dos trossos són nuls. Exemple (2): La funció i l'esfera de radi 2 centrada a l'origen de coordenades - com a regió d'integració - . La "bola" és simètrica respecte als tres eixos, però n'hi ha prou d'integrar respecte a la variable x per a veure que la integral és 0, perquè la funció és una funció imparella d'aquesta variable.
Fórmules de reducció Les fórmules de reducció utilitzen el concepte de domini simple per a fer possible la descomposició de la integral múltiple en una integral iterada. Aquestes s'han de resoldre de la dreta cap a l'esquerra integrant una variable en cada pas i considerant les altres variables com a constants (lo qual és similar al procés de càlcul de derivades parcials).
Dominis normals a R² Normals en el sentit de perpendiculars als eixos de coordenades.
eix x Si D és un domini mesurable perpendicular a l'eix x i és una funció contínua; i α(x) i β(x) (definides a l'interval [a,b]) són les dues funcions que determinen D. Llavors:
eix y Si D és un domini mesurable perpendicular a l'eix y i és una funció contínua; i α(y) i β(y) (definides a l'interval [a,b]) són les dues funcions que determinen D. Llavors:
miniatura|Exemple: regió D limitada per les rectes x=0 i y=1 i la corba .
Exemple S'agafa la regió: (si vos plau, mireu el gràfic de l'exemple). Calcular
En aquest cas el domini és perpendicular tant a l'eix x com al y. Per aplicar les fórmules cal trobar les funcions que determinen D i els seus intervals de definició. En aquest cas les dues funcions són:
i
l'interval ve donat per la intersecció de les funcions amb , per tant l'interval és (normalment s'ha triat respecte de l'eix x perquè visualment s'entengui millor).
Ara es poden aplicar les fórmules:
(primer es calcula la segona integral considerant x com una constant). La resta d'operacions consisteixen en aplicar les tècniques bàsiques d'integració:
Si es tria la normalitat respecte de l'eix y es pot calcular
i s'obté el mateix resultat. miniatura|Exemple d'un domini normal a R3 (pla xy).
Dominis normals a R3 L'extensió d'aquestes fórmules a integrals triples és evident:
T és un domini perpendicular al pla xy respecte de les funcions α (x,y,z) i β(x,y,z). Llavors:
(Aquesta definició és la mateixa pels altres cinc casos de perpendicularitat a R3).
Canvi de variables Molt sovint, a causa de dominis d'integració que no són fàcilment interpretables (sense normalitat o amb fórmules complexes per a integrar), es recorre al canvi de variables per a reescriure la integral i obtenir-ne una forma més tractable de la regió d'integració o una expressió més senzilla de la funció. En fer-ho la funció s'ha d'adaptar al nou sistema de coordenades.
Exemple (1-a): La funció ; si s'aplica la substitució per tant S'obté la nova funció . Similarment amb el domini perquè està delimitat per funcions de les variables originals a les quals s'ha d'aplicar la transformació (x i y en l'exemple). els diferencials dx i dy es transformen a través del determinant de la matriu jacobiana que conté les derivades parcials de les transformacions respecte de les noves variables (es veurà com a exemple el cas de la transformació en coordenades polars).
Hi ha tres "tipus" principals de canvi de variables (un a R², i dos a R3); encara que, es poden trobar substitucions adequades emprant el mateix mètode i aplicar-lo de forma completament general.
Coordenades polars
miniatura|Transformació de coordenades cartesianes a coordenades polars. En R² si el domini té "simetria" circular i la funció té algunes característiques "particulars" es pot aplicar el canvi a coordenades polars (vegeu l'exemple de la figura) això significa que els punts genèrics P(x,y) en coordenades cartesianes canvien als seus respectius punts en coordenades polars. Això permet canviar la "forma" del domini i simplificar la funció per tal assolir un càlcul més senzill i immediat.
La relació fonamental per a fer la transformació de la funció és la següent:
Exemple (2-a): Si
aplicant el canvi de variables s'obté
Exemple (2-b): Si En aquest cas es té:
emprant la relació fonamental de la trigonometria (molt útil per a simplificar aquesta operació).
La transformació del domini es fa definint el longitud del radi de la corona circular i l'amplitud de l'angle descrit per a definit els intervals ρ, φ a partir de x, y.