náhled|Rovnoběžník Rovnoběžník ( parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.
Vlastnosti Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) :
Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.
Protilehlé úhly jsou shodné, platí
Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky. Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce:
Platí tedy rovnoběžníková rovnost:
Rovnoběžník je středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček. Čtyřúhelník je rovnoběžník, právě když má střed souměrnosti.
Rovnoběžník je definovaný pomocí rovnoběžnosti, je to afinní pojem. Afinita zobrazí rovnoběžník opět na rovnoběžník. Navíc lze afinně zobrazit každý rovnoběžník na libovolný jiný, všechny rovnoběžníky jsou afinní.
Shrnutí vlastností rovnoběžníků. +čtverecobdélníkkosočtvereckosodélníkSoubor:Ctverec uhlopricky.pngSoubor:Obdélník uhlopricky.pngSoubor:Kosočtverec uhlopricky.pngSoubor:Kosodelnik uhlopricky.pngvšechny strany jsou stejně dlouhésousední strany mají různé délkyvšechny strany jsou stejně dlouhésousední strany mají různé délkyvšechny vnitřní úhly jsou pravéžádný vnitřní úhel není pravýúhlopříčky se navzájem půlíúhlopříčky mají stejnou délkuúhlopříčky mají různé délkyúhlopříčky jsou k sobě kolméúhlopříčky nejsou k sobě kolméúhlopříčky jsou k sobě kolméúhlopříčky nejsou k sobě kolméúhlopříčky půlí vnitřní úhlyúhlopříčky nepůlí vnitřní úhlyúhlopříčky půlí vnitřní úhlyúhlopříčky nepůlí vnitřní úhly
Obsah Obsah rovnoběžníku je roven: ,
kde a jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a je výška ke straně , obdobně je výška ke straně , je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.
V rovině Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. , , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto
Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak tedy
Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v -rozměrném prostoru).
V trojrozměrném prostoru Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. , , atd., a zavedeme-li stranové vektory
je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru , kde "" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy
kde "" značí skalární součin dvou vektorů.
Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy , tj.
pak
čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.
Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak
v obecném případě, respektive
v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy .
V n-rozměrném (euklidovském) prostoru Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném -rozměrném prostoru
pak jeho obsah je dán vztahem
kde "", resp. "" značí skalární součin dvou vektorů.
Dosazením
opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.
Reference
Literatura Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, , str. 97 Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 54-55
Související články Geometrický útvar Čtyřúhelník Rovnoběžnostěn Čtverec
Externí odkazy
Kategorie:Čtyřúhelníky