V matematice se pojmem oktoniony označuje rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly a je neasociativní. Je to nejstarší známý příklad neasociativního okruhu.
Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. výlučným Lieovým grupám typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.J. Baez: The Octonions. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Errata in Bull Amer. Math. Soc. 42 (2005), 213. On-line: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/
Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony.
Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a asociátor.
Historie Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.
Definice Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel, pro které je však – na rozdíl od vektorů – definována vzájemně jednoznačná a invertibilní operace dělení. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k + x4 l + x5 li + x6 lj + x7 lk. kde xa jsou reálná čísla.
Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.
1 i j k l li lj lk i −1 k −j −li l −lk lj j −k −1 i −lj lk l −li k j −i −1 −lk −lj li l l li lj lk −1 −i −j −k li −l −lk lj i −1 −k j lj lk −l −li j k −1 −i lk −lj li −l k −j i −1
Vlastnosti Násobení oktonionů není ani komutativní: ij = −ji ≠ ji ani asociativní: (ij)l = −i(jl) ≠ i(jl)
Související články Hyperkomplexní číslo Kvaternion
Externí odkazy
Reference
Kategorie:Hyperkomplexní čísla Kategorie:Neasociativní algebra Kategorie:Lineární algebra