vpravo|náhled|Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře) Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.
Formální definice v topologii Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum): Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°. Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M). Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.
Příklady Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra. Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.
Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:
Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěremBudeme postupovat podle první definice. Pro hustou množinu platí, že její uzávěr je celé univerzum. A neboť vnitřkem je prázdná množina, tak hranicí je celé univerzum..
V množině racionálních čísel s topologií otevřených intervalů, hranice množiny , kde a je iracionální, je prázdná množinaStačí si uvědomit, že ani jeden z hraničních bodů tohoto intervalu neleží v množině racionálních čísel..
Reference John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975 James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988
Poznámky
Související články Topologie Metrický prostor Vnitřek množiny Otevřená množina Uzavřená množina
Externí odkazy
Kategorie:Topologie