Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru , kde . Čísla se nazývají koeficienty polynomu.
Stupeň polynomu Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = .
Příklady polynomů je polynom 1. stupně (lineární polynom) je polynom 2. stupně (kvadratický polynom) je polynom 3. stupně (kubický polynom)
Operace s polynomy Mějme polynom -tého stupně , a polynom -tého stupně .
Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. pro všechna pouze tehdy, je-li a pro každé platí .
Sečtením polynomů a získáme polynom , kde . Stupeň výsledného polynomu je . (Odpovídající koeficienty polynomů a mohou v součtu dávat 0.)
Součin polynomů je polynom , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je .
Platí tedy, že .
Je-li kde , pak existují právě dva polynomy takové, že platí
kde má stupeň menší než nebo je nulovým polynomem. Pokud je nulový polynom, pak říkáme, že polynom je dělitelný polynomem .
Polynomy tvoří vektorový prostor.
Hornerovo schéma Polynom lze zapsat ve tvaru
Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu v bodě postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li , , , … , pak poslední číslo představuje právě hodnotu polynomu v bodě .
Příklady Mějme polynomy ,
Pokusme se zjistit, zda je polynom dělitelný polynomem .
Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu členem s nejvyšší mocninou polynomu , tzn. . První člen polynomu tedy bude . Tímto členem vynásobíme polynom (dostaneme tedy ) a výsledek odečteme od polynomu , čímž získáme nový polynom .
Nejvyšší člen polynomu opět dělíme nejvyšším členem polynomu , tzn. , tzn. další člen polynomu je . Tímto členem opět násobíme polynom , tzn. získáme , a výsledek odečteme od polynomu . Získáme nový polynom .
Stupeň polynomu je však nižší než stupeň polynomu , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom tedy odpovídá polynomu .
Výsledek tedy je , tzn. a .
Vzhledem k tomu, že , není polynom dělitelný polynomem .
Kořen polynomu Číslo se nazývá kořen polynomu , jestliže platí
Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.
Vlastnosti Je-li kořenem polynomu stupně , pak , kde je polynom stupně .
Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze kořenů polynomu -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu stupně , tzn. , kde představují známé kořeny polynomu . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu stačí hledat pouze kořeny polynomu , tzn. řešit rovnici , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu . Polynom získáme z polynomu jeho vydělením výrazem .
Rozklad na kořenové činitele Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom stupně lze zapsat ve tvaru , kde jsou kořeny polynomu . Členy označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).
Násobnost kořene Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát , kde , přičemž jsou přirozená čísla. Čísla určují násobnost kořene , tzn. kolikrát se kořen vyskytuje v řešení polynomu.
Pokud má polynom stupně s reálnými koeficienty -násobný kořen , má také -násobný kořen . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem .
Podle předchozího tvrzení lze každý polynom stupně s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla , reálných kořenových činitelů a reálných trojčlenů , splňujících podmínku , tzn. , kde jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka .
Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn. , kde určuje počet reálných kořenů polynomu a je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.
Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
Pokud jsou kořeny polynomu , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
…
Derivace polynomu Derivací polynomu rozumíme polynom tvaru . Derivaci značíme ' (Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)
n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce
'
'
Souvislost derivace a násobnosti kořene Číslo je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu (a není kořenem derivace řádu ).
Polynom dvou proměnných Funkci dvou proměnných označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla a konstanty takové, že platí .
Související články Monom Dvojčlen Základní věta algebry Algebraická rovnice Reciproký polynom Charakteristický polynom Hornerovo schéma
Externí odkazy
Kalkulačka na hledání reálných kořenů polynomu
Kategorie:Algebra Kategorie:Čísla Kategorie:Polynomy