Pravidelný mnohoúhelník je mnohoúhelník, který má všechny úhly stejně velké a všechny strany stejně dlouhé. Může být konvexní nebo hvězdicový.
Obecné vlastnosti Tyto vlastnosti se týkají i konvexních i hvězdicových pravidelných mnohoúhelníků.
Všechny vrcholy pravidelného mnohoúhelníku leží na stejné kružnici (kružnice opsaná). Společně se stejnou délkou stran to znamená, že má i kružnici vepsanou, která se dotýká každé strany v jejím středu. Pravidelný n-úhelník je konstruovatelný Eukleidovskou konstrukcí tehdy a jen tehdy, když jsou liché dělitele n různá Fermatova prvočísla. Pravidelné mnohoúhelníky jsou symetrické. Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti, je-li n sudé číslo, pak má i střed souměrnosti.
Pravidelné konvexní mnohoúhelníky
Galerie
Úhly Pro každý pravidelný konvexní n-úhelník platí, že každý vnitřní úhel je veliký
(neboli ) stupňů neboli radiánů
a každý vnější úhel (doplňkový k vnitřnímu úhlu) je veliký stupňů.
Úhlopříčky Pro je počet úhlopříček .
Pro n-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice je součin vzdáleností od jednoho vrcholu ke všem ostatním vrcholům (včetně sousedních) je rovný n.
Poloměry Poloměr kružnice opsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Poloměr kružnice vepsané pravidelnému mnohoúhelníku s délkou strany s je:
Pozn.: Délka poloměru kružnice vepsané se rovná délce apotémy, což je úsečka spojující střed se středem libovolné strany
Obsah Obsah S pravidelného konvexního n-úhelníku s délkou strany s a poloměry kružnic opsané r a vepsané je:
Pro pravidelné mnohoúhelníky se stranou s=1 jsou obsahy následující
StranyNázevPřesná plochaPřibližná plochanpravidelný n-úhelník 3rovnostranný trojúhelník0,4330127024čtverec15pravidelný pětiúhelník1,7204774016pravidelný šestiúhelník2,5980762117pravidelný sedmiúhelník 3,6339124448pravidelný osmiúhelník4,8284271259pravidelný devítiúhelník 6,18182419410pravidelný desetiúhelník7,69420884311pravidelný jedenáctiúhelník 9,36563990712pravidelný dvanáctiúhelník11,1961524213pravidelný třináctiúhelník 13,1857683314pravidelný čtrnáctiúhelník 15,3345019415pravidelný patnáctiúhelník17,6423629116pravidelný šestnáctiúhelník20,1093579717pravidelný sedmnáctiúhelník 22,7354919018pravidelný osmnáctiúhelník 25,5207681919pravidelný devatenáctiúhelník 28,4651894320pravidelný dvacetiúhelník31,56875757
Ze všech n-úhelníků daného obvodu má pravidelný mnohoúhelník největší plochu.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
Pravidelné hvězdicové mnohoúhelníky náhled|150px|vpravo|Pentagram {5/2}
Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník je pravidelný hvězdicový mnohoúhelník. Nejznámějším příkladem je pentagram, který má stejné vrcholy jako pětiúhelník, ale spojuje jiné (všechny zbývající) vrcholy).
Pro každý hvězdicový mnohoúhelník s n stranami se udává Schläfliho symbol, který označuje „hustotu“ m, výsledný symbol je tedy {n/m}. Když je m rovno 2, znamená to, že se spojí každý druhý vrchol. Když je m rovno 3, spojí se každý třetí vrchol atd.
pentagram – {5/2} hexagram – {6/2} heptagram – {7/2} a {7/3} oktagram – {8/2} a {8/3} enneagram – {9/2}, {9/3} a {9/4} dekagram – {10/2}, {10/3} a {10/4} hendekagram – {11/2}, {11/3}, {11/4} a {11/5} dodekagram – {12/2}, {12/3}, {12/4} a {12/5}
Reference
Literatura Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 34-37
Externí odkazy
Kategorie:Mnohoúhelníky