náhled|upright=1.2|Periodická funkce s periodou P náhled|upright=1.2| Jedna perioda funkce sinus a kosinus náhled|upright=1.1| Jednoduché periodické funkce Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou goniometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.
Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.
Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.
Definice Přesněji můžeme říci, že funkce je periodická s periodou , jestliže
pro všechny hodnoty v definiční oblasti . Pro všechna celá čísla n také platí
Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například
Perioda funkce je rovna 1 a .
Nejmenší kladné číslo , které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu stejný.
Obecná definice Nechť je množina s interní operací . Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na je funkce na taková, že
.
Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že je komutativní, v této definici píšeme napravo.
Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé.)
Periodické řady Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Lze proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.
Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.
Translační symetrie Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.
Odkazy
Externí odkazy
Související články Harmonická funkce Amplituda Frekvence Oscilace Vlnová délka
Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí