Galerkinova metoda (často též Ritzova-Galerkinova metoda, dle přepisu z ruštiny Galjorkinova metoda) je postup používaný při řešení soustavy parciálních diferenciálních rovnic, jehož princip spočívá v nahrazení původní rovnice, tzv. silné formulace, její integrální formou, tzv. slabým řešením, a následnou diskretizací slabého řešení. Galerkinova metoda, která patří do třídy metod vážených reziduí, se stala základem metody konečných prvků. Ve dvacátých letech 20. století ji významně rozpracovali ruští vědci, zejména Ivan Bubnov a Boris Grigorjevič Galjorkin (také přepisován Galerkin), kteří navázali na práci německého matematika Walthera Ritze. Prudký vývoj pak od padesátých let zaznamenala Metoda konečných prvků zejména díky rozmachu výpočetní techniky. V současnosti je metoda konečných prvků nejpoužívanější metodou pro numerické simulace nejrůznějších fyzikálních problémů.M. Křížek. Padesát let metody konečných prvků. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, vol. 37 (1992), issue 3, pp. 129-140 dostupné online
Slabé řešení diferenciální rovnice Uvažujme diferenciální rovnici pro funkci na oblasti splňující homogenní Dirichletovské podmínky na hranici oblasti .
kde je lineární diferenciální operátor. Definujeme skalární součin
a pak funkce, pro něž je integrál konečný, a které splňují nulové okrajové podmínky, tvoří nekonečně-dimenzionální vektorový prostor . Existuje tedy vektorová báze a libovolnou funkci z prostoru lze vyjádřit jako lineární kombinaci bázových funkcí , přičemž platí-li pro nějakou funkci , že její skalární součin s libovolnou z bázových funkcí je nulový, pak funkce je nulovým prvkem vektorového prostoru .
To vede k definici slabého řešení , které místo původní diferenciální rovnice splňuje rovnici
Slabé řešení je tedy definováno integrální rovnicí
Existuje-li silné řešení, a je-li dostatečné hladké, pak je rovno slabému řešení.M. Křížek, P. Neittaanmaki, Finite Element Approximation of Variational Problems and Applications, Longman New York, 1990,
Diskretizace slabého řešení Princip Galerkinovy metody spočívá v nahrazení nekonečně-dimenzionálního prostoru jeho konečně-dimenzionálním podprostorem . Řešení pak hledáme ve tvaru konečné řady , které splňuje slabou formulaci
čímž dostáváme soustavu lineárních rovnic pro neznámých koeficientů
Matice
se z historických důvodů nazývá maticí tuhosti a vektor
vektorem zatížení. Pro bázové funkce se používá označení testovací funkce.
Vztah slabého řešení a variačních úloh Je-li symetrická bilineární forma, pak minimalizace funkcionálu
který je dán výrazem
je ekvivalentní hledání řešení
neboť
a tedy funkcionál nabývá minima pro , protože člen je konstantní. Pokud diferenciální rovnice popisuje fyzikální systém mající potenciální energii, vyjadřuje funkcionál energii systému.
Příklad Řešme rovnici s homogenními okrajovými podmínkami . Rovnici přenásobíme testovací funkcí splňující okrajové podmínky a integrujeme na intervalu , dostáváme
Integrací per partes pak dále upravíme levou stranu
a díky tomu, že bázové funkce splňují okrajové podmínky, dostáváme slabou formulaci problému
která musí být splněna pro všechny testovací funkce.
náhled|Příklad: přesné řešení diferenciální rovnice a Galerkinovo řešení ve tvaru konečné řady pro různé délky řady. Zvolme bázové funkce ve tvaru a řešení hledejme jako konečnou řady . Díky volbě bázových funkcí je matice tuhosti diagonální, neboť , kde je Kroneckerovo delta. Vektor zatížení je . Pro koeficienty tedy platí a hledané řešení má tedy tvar
Metoda konečných prvků Metoda konečných prvků je zvláštním případem Galerkinovy metody, při které jsou jako testovací funkce použity funkce s kompaktním nosičem. Díky tomu je matice tuhosti řídká, v ideálním případě pásová, a při numerickém řešení soustavy rovnic lze s výhodou použít efektivní algoritmy.A. A. Samarskij, J. S. Nikolajev.: Numerické řešení velkých řídkých soustav. Academia, Praha, 1984.M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. SNTL, Praha, 1981.Y. Saad. Iterative methods for sparse linear systems. Second edition with corrections. 2000.G. Meurant. Computer Solution of Large Linear Systems, North Holland, Elsevier, Amsterdam, 1999.
vpravo|náhled| Testovací po částech lineární funkce (modře) na intervalu a příklad jejich lineární kombinace (červeně). Výše uvedený příklad lze řešit metodou konečných prvků: interval rozdělme na intervalů a definujme bázové funkce
náhled|Příklad: přesné řešení diferenciální rovnice a Galerkinovo řešení pro různé diskretizace oblasti.
Pro jednoduchost uvažujme, že délka všech intervalů je stejná, potom matice tuhosti je diagonální
Řešení opět hledáme ve tvaru konečné řady . Jednotlivé složky vektoru zatížení lze sice v tomto jednoduchém případě řešit analyticky, ale v obecném případě je nutné použít numerickou integraci, což může platit i pro prvky matice tuhosti. V praxi se jak pro výpočet jednotlivých prvků vektorů zatížení, tak i jednotlivých prvků matice tuhosti, používají Gaussovy kvadraturní vzorce. náhled|Courantova bázová funkce na triangulované oblasti
Jedním z hlavních problémů metody konečných prvků je síťování (triangulace) oblasti, které v inženýrské praxi představuje často časově nejvíce náročnou část analýzy.O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu. The finite element method: its basis and fundamentals. 6. vydání, McGraw-Hill 2005. Dvoudimenzionální sítě jsou obvykle tvořeny trojúhelníky nebo čtyřúhelníky, zatímco třídimenzionální sítě jsou obvykle tvořeny čtyřstěny nebo šestistěny. Výsledky automatického síťování třídimenzionálních oblastí často vyžadují manuální opravy výsledné sítě a proto se automatickému generovaní sítí věnuje od 70. let minulého století velké úsilí.J. E. Thompson, Z. U. A. Warsi, C. W. Mastin. Numerical Grid Generation: Foundations and Applications, Elsevier Science Publishing, 1985 dostupné online Přesto zůstává automatické generace sítě stále nevyřešeným problémem. Je-li hranice vyšetřované oblasti křivočará, je aproximace oblasti mnohostěnem (polyedrem) zdrojem dalších nepřesností metody, proto se někdy uvažují křivočaré prvky, což je však v praxi velmi obtížné.
Dalším zdrojem chyb je numerická integrace použitá při výpočtu jednotlivých prvků vektoru zatížení a matice tuhosti i numerické chyby při vlastním řešení soustavy lineární rovnic s řídkou maticí, při níž se s ohledem na velikost matice často používají iterační metody (Jacobiho metoda, Gauss-Seidelova metoda aj.J. Prokop. Algoritmy v jazyku C a C++: praktický průvodce. Grada, Praha 2009).
Odhad chyby metody Pro odhad chyby diskretizovaného řešení má klíčový význam Céaovo lemmaJ. Céa. Approximation variationnelle des problèmes aux limites (dizertační práce). Annales de l'institut Fourier 14. 2. pp. 345–444. 1964. dostupné online podle něhož pro funkce ze Sobolevova prostoru existuje taková konstanta , že
Norma je přitom definována pomocí skalárního součinu na prostoru
Céanovo lemma říká, že i kdybychom znali přesné řešení zkoumané diferenciální rovnice, na prostoru bychom nenalezli lepší aproximaci řešení, než je právě .
Ve výše uvedeném případě uvažujme po částech lineární funkci , která aproximuje přesné řešení ve všech uzlových bodech, tj. platí . Pro každý interval lze pomocí Taylorova rozvoje psát
, kde je nějaký bod v intervalu . Dosadíme-li za koncový bod intervalu a odečteme-li od sebe rozvoje přesného řešení a jeho interpolaci , dostaneme
kde je nějaký bod v intervalu . Odečteme-li pak od sebe rozvoje přesného řešení a jeho interpolaci ve vnitřním bodu intervalu , dostaneme
Pro odhad chyby v normě pak platí kde je největší z intervalů . Tento výsledek má fundamentální význam pro konvergenci, neboť říká, že s jemnější diskretizací () se rozdíl přesného a diskretizovaného řešení zmenšuje. Céaovo lemma má pro a priorní odhad chyby velký význam rovněž z toho důvodu, že umožňuje místo aproximačních vlastností bázových funkcí vyšetřovat aproximační vlastnosti vektorových prostorů . Obecný odhad chyby založený na Céaově lemmatu lze pro některé speciální třídy úloh upřesnit W. Chen, M. Křížek. What is the smallest possible constant in Céa's lemma? Applications of Mathematics, 51(2), pp. 129-144, 2006. dostupné on-line
Aplikace na fyzikální problémy Galerkinova metoda, nejčastěji ve formě metody konečných prvků, se používá k numerickému řešení rovnice vedení tepla, rovnic popisujících gravitační, magnetický či elektrický potenciál, vlnové rovnici nebo rovnic mechaniky kontinua (např. Navierova–Stokesova rovnice). Historicky prvními úlohami, pro jejichž řešení byla použita Galerkinova metoda, byly výpočty pružnosti a pevnosti (např. vlastní kmity).
Průhyb nosníku Klasickou úlohou je průhyb nehomogenního nosníku proměnného průřezu. Je-li nosník délky namáhaný příčným zatížením na obou stranách vetknutý, platí pro průhyb rovnice , kde je Youngův modul pružnosti a je kvadratický moment průřezu. Pro odvození slabého řešení definujme vektorový prostor funkcí splňujících zadané homogenní okrajové podmínky
a slabé řešení je pak definováno rovnicí , kde bilineární forma je dána předpisem
a vektor zatížení je
Ke stejné slabé formulaci bychom dospěli minimalizací funkcionálu
kde fyzikální význam prvního členu je potenciální energie vnitřních sil (energie napjatosti) a druhý člen představuje potenciální energii vnějších sil.J. Lenert. Úvod do metody konečných prvků. VŠB-TU Ostrava, 1999. Vzhledem k tomu, že vyšetřovaná rovnice je čtvrtého řádu, je na testovací funkce kladena podmínka spojitosti prvních derivací v celém intervalu. Při rozdělení oblasti na intervalů lze jako testovací funkce použít kubické splinové funkce určené předpisem
Označíme-li délku intervalu jako , pak testovací funkce jsou dány vztahy
Zajímavou vlastností diskretizovaného řešení je, že je-li nosník homogenní a průřez nosníku konstantní, pak diskretizované řešení nemá v uzlových bodech žádnou diskretizační chybu.
Stacionární vedení tepla Stacionární vedení tepla v D-dimenzionální oblasti je popsáno rovnicí
Je-li prostředí homogenní a isotropní (tj. je jednotková matice), přechází rovnice na tzv. Poissonovou rovnici
která je významná i v teorii potenciálu. Nejčastějšími okrajovými podmínkami jsou Dirichletova homogenní podmínka , jejímž fyzikálním významem je zadaná teplota na hranici oblasti, nebo homogenní Neumannova podmínka na normálovou derivaci , resp. pro neisotropní prostředí, jejímž fyzikálním významem je nulový tepelný tok přes hranici oblasti (tj. tepelně izolovaná hranice). Přenásobením rovnice vedení tepla libovolnou testovací funkcí a použitím Greenovy formule (zobecněná integrace per partes ve více dimenzích)
dostaneme variační formulaci
Okrajové podmínky vyřešíme volbou vektorového prostoru testovacích funkcí: pro homogenní Dirichletovu podmínku zvolme
kde značí vektorový prostor funkcí, pro něž je integrál konečný, a integrál přes hranici oblasti ve slabé formulaci vymizí díky . V případě homogenní Neumannovy podmínky stačí volit vektorový prostor testovacích funkcí
a integrál přes hranici oblasti vymizí díky podmínce na nulový tepelný tok přes hranici. Díky tomu je podmínka na (normálovou) derivaci označována za přirozenou.
Slabé řešení stacionární rovnice vedení tepla je tedy
přičemž vektorový prostor je určen předepsanými okrajovými podmínkami.
Bezsíťová Galerkinova metoda Obtíže při konstrukci výpočetních sítí vedly k rozvoji celé třídy tzv. bezsíťových metod. Tyto metody lze s výhodou uplatnit pro řešení problémů, kdy se zkoumaná oblast deformuje, např. úlohy s pohyblivou hranicí, šíření trhlin nebo simulace tavení. Typickým zástupcem bezsíťových metod je bezsíťová Galerkinova metoda,T. Belytschko, Z. Z. Lu, L. Gu. Element free Galerkin methods. Int. J. Numerical Methods in Engineering, 37, 229-256, 1994. dostupné online při níž je konečně-prvková síť nahrazena uzlovými body, se kterými jsou asociovány váhové funkce s omezeným nosičem. Diskretizované řešení se hledá ve tvaru