Teorie grup je matematická disciplína zabývající se studiem grup. Jde o podobor algebry. Má mnoho aplikací v celé matematice i v dalších oborech – fyzice, informatice či chemii.
Historie Počátky teorie grup sahají do posledních let 18. a počátku 19. století, kdy se začala vyvíjet jako důsledek rozvoje teorie algebraických rovnic, teorie čísel a geometrie. Prvními matematiky, kteří se zabývali touto oblastí byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.
Moderní definici grupy podal roku 1882 Walther von Dyck.
Grupa
Grupa je základním pojmem teorie grup. Je definována jako množina spolu s binární operací splňující tři grupové axiomy:
{| cellpadding=5 | Asociativita:
| Existence neutrálního prvku:
| Existence inverzních prvků:
Důležité věty teorie grup Lagrangeova věta: Je-li G konečná grupa a H její podgrupa, pak řád H dělí řád G. Cayleyho věta: Každá grupa G je izomorfní podgrupě grupy permutací na G (symetrické grupě). Sylowovy věty: Popisují existenci a vlastnosti p-podgrup konečné grupy. Věta o homomorfismu: Dává do souvislosti dvě grupy, mezi nimiž je homomorfismus, s jeho jádrem a obrazem. Jordan-Hölderova věta: Každé dvě kompoziční řady dané grupy jsou izomorfní. Krull-Schmidtova věta: Stanovuje podmínky pro to, aby grupa G byla konečným součinem svých nerozložitelných podgrup. Burnsidovo lemma: Počet orbit akce grupy na množinu se rovná průměrnému počtu bodů fixovaných jednotlivými prvky grupy. Klasifikace konečně generovaných abelovských grup: Každá konečně generovaná abelovská grupa je jednoznačně vyjádřitelná jako direktní suma cyklických grup řádu nekonečného nebo mocniny prvočísla. Klasifikace konečných jednoduchých grup: Jeden z vrcholných výsledků matematiky 20. století.
Odkazy
Související články Grupa Teorie těles Teorie okruhů Galoisova teorie
Externí odkazy
Literatura
Kategorie:Algebra Kategorie:Teorie