Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice Nechť je čtvercová regulární matice, pak číslo

kde značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá spektrální a Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice .

Je-li regulární matice normální (tedy ), pak

kde je spektrum matice ; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice .

Pro obecnou čtvercovou regulární matici je podmíněnost

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

Příklady

Ortogonální matice Je-li matice ortogonální, pak zřejmě . Obecně platí

kde .

Vzdálenost od nejbližší singulární matice Je-li matice regulární, a matice je nějaká její perturbace tak, že

pak je i matice regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

lze zapsat ve tvaru . Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li singulární, pak . Nechť tedy existuje tak, že , tedy , pak

Protože můžeme nerovnost dělit a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

pak

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, ) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita Nechť je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru a nechť všechna singulární čísla matice jsou jednoduchá pro všechna (pak jsou též spojitými funkcemi parametru ). Nechť je matice regulární všude v nějakém okolí bodu a zároveň je singulární. Pak

Obdélníková matice Uvažujme obdélníkovou matici , která má plnou hodnost, tedy . Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

kde je Mooreova–Penroseova pseudoinverze matice .

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Mooreovy–Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. .

Kategorie:Teorie matic