Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Znění Na prostoru s mírou mějme μ-měřitelné funkce na . Dále nechť existují čísla , taková, že: . Pak platí: .
Důležité speciální případy Pro následující případy předpokládejme, že a .
Aritmetická míra V případě -rozměrného Eukleidovského prostoru , s množinou a aritmetickou mírou dostáváme: .
Rovnost nastává, právě když .
Lp prostory Pokud , tak a navíc:
Pro pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla , a platí . Rovnost nastává, právě když nebo . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
Kategorie:Nerovnosti Kategorie:Matematická analýza