Reciproká rovnice je taková algebraická rovnice, jejíž levou stranu tvoří reciproký polynom. Ten je charakteristický symetrií svých koeficientů. První je stejný (popř. opačný) jako poslední, druhý je stejný (popř. opačný) jako předposlední atd. Je zřejmé, že máme-li reciproký polynom sudého stupně (tedy má lichý počet členů), existuje zde prostřední koeficient, ke kterému neexistuje symetrický člen.

Jsou-li si symetrické koeficienty rovny, jedná se o rovnici prvního druhu. Jsou-li však symetrické koeficienty opačné, jedná se o rovnici druhého druhu. Dále podle stupně polynomu rozlišujeme rovnici sudého a lichého stupně.

Definice Nechť je dán reciproký polynom  

Pak rovnici    nazýváme reciproká rovnice 1. druhu (kladně reciproká), jestliže   reciproká rovnice 2. druhu (záporně reciproká), jestliže  

Příklad:

a) reciproká rovnice 1. druhu, sudého stupně:  5x4 − 7x3 + 3x2 − 7× + 5 = 0 b) reciproká rovnice 2. druhu, lichého stupně:  6x3 − 2x2 + 2× − 6 = 0

Metody řešení každá rec. rovnice 2. druhu má kořen 1. Pokud ji vydělíme kořenovým činitelem (x−1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu stupně o 1 menšího. každá rec. rovnice 1. druhu, lichého stupně má kořen c = −1. Pokud ji vydělíme dvojčlenem (x+1), dostaneme rec. rovnici 1. druhu sudého stupně rec. rovnici 1. druhu, sudého stupně n lze převést na algebraickou rovnici polovičního stupně dělením výrazem    a substitucí:

Z výše uvedených skutečností je zřejmé, že je-li c řešením rec. rovnice, pak je také 1/c jejím řešením.

Reciproké rovnice lze těmito metodami algebraicky řešit do určitých stupňů: rovnice 2. druhu do 10. stupně včetně, rovnice 1. druhu do 9. stupně včetně.

Příklad … rovnice 1. druhu, lichého stupně – kořen  .

Vydělením rovnice dvojčlenem (x+1) dostaneme rovnici

… rovnice 1. druhu, sudého stupně – řešení substitucí

  substituce    … řešení této kvadratické rovnice jsou  

Zpětné dosazení y1 = 9

9 = x + 1/x

x2 − 9× + 1 = 0

y2 = 3

3 = x + 1/x

x2 − 3× + 1 = 0

Zadaná rovnice má pět kořenů:  

Literatura Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc. Bican L. (2004). Lineární algebra a geometrie. Academia Praha.

Kategorie:Rovnice Kategorie:Algebra