Pojmem lineární zobrazení (někdy též lineární transformace, angl. linear map, linear mapping, popř. linear transformation) se v matematice označuje takové zobrazení mezi vektorovými prostory X a Y, které zachovává vektorové operace sčítání a násobení skalárem. Název lineární je odvozen z faktu, že grafem lineárního zobrazení z reálných čísel do reálných čísel je přímka, latinsky linea.
Důležitými zástupci lineárních operací jsou například derivování a integrování funkcí. Pomocí lineárních zobrazení lze popisovat i rotace a jednoduché deformace objektů ve vektorových prostorech. Oblast, kde lineární zobrazení nacházejí uplatnění je kvantová mechanika, kde je každý vývoj systému a každé měření popsáno právě pomocí lineárních zobrazení. Kvantová mechanika je sama o sobě natolik významná teorie, že studovat vlastnosti lineárních zobrazení je důležité už pro ni samotnou. Lineární zobrazení obecně zaujímají v matematice a ve fyzice velmi důležité postavení. Jedním z hlavních důvodů je relativní snadnost manipulace s takovýmito zobrazeními. Máme-li nějaké nelineární zobrazení, s nímž se pro jeho příliš složitou strukturu obtížně pracuje, můžeme si v některých případech vypomoci jeho jednodušší linearizovanou variantou. Tento postup se používá ve fyzice, kde rovnice popisující fyzikální děj často nabývají tvaru, který je těžko řešitelný. Po zjednodušení takové rovnice lze problém vyřešit. Ovšem za cenu toho, že dané řešení nepopisuje probíhající fyzikální děj zcela přesně. Podobná metoda nahrazování složitých funkcí jejich lineárními protějšky je používána i v matematice, kde je důvodem opět snazší nakládání s výslednými matematickými výrazy.
Motivace rám|150px|Příklad grafů dvou lineárních funkcí. Funkce g na obrázku prochází počátkem souřadnic.
Než přikročíme k definici je vhodné si uvést příklad jednoduchých funkcí, abstrakcí jejichž vlastností dospějeme právě k obecné definici lineárního zobrazení. Mezi nejjednodušší funkce, které si lze představit, patří funkce tvaru
kde a a b jsou parametry. Jedná se tedy o funkce na reálných číslech tvaru výše s reálnými parametry a a b, konkrétně např. či . Když se tyto funkce vyjádří graficky, je vidět, že jejich grafem je přímka, viz obrázek. Neboť latinské slovo pro přímku zní linea (další významy zahrnují i "čára", "provázek" či "lněná nit"), označují se funkce tohoto tvaru jako lineární. Pokud je parametr b roven nule, tak tato přímka prochází počátkem souřadnic, viz funkci g na obrázku.
Prostudujme nyní v krátkosti základní vlastnosti lineárních funkcí. Uvažujme přitom jen takové lineární funkce, které mají parametr , tj. jsou tvaru . Pokud necháme takovéto funkce působit na součet a na násobek , tak obdržíme
Z řádku výše tedy vidíme obecnou vlastnost funkcí s : . Jedná se o dvě vlastnosti, první se nazývá aditivita, druhá pak homogenita. První říká, že je jedno, zda nejdříve čísla sečteme a pak na ně aplikujeme funkci, nebo naopak. Druhá vlastnost tvrdí totéž o násobení číslem. Pro matematika to znamená, že úprava matematických vzorců s těmito funkcemi bude z uvedených důvodů velmi snadná. Právě tyto dvě vlastnosti slouží k definici obecného lineární zobrazení tak, jak je podána v následujícím oddíle. Zobrazení splňujících tyto vlastnosti je překvapivě velké množství, viz oddíl Příklady níže.
Uveďme si ještě dvě další zajímavé vlastnosti lineárních funkcí. Když sečteme funkce f a g tvaru a , dostaneme funkci téhož tvaru: , kde v roli parametrů nyní vystupují čísla a . Když funkci f vynásobíme číslem , obdržíme funkci , jež je opět lineární, neboť
Vidíme tedy, že součtem dvou lineárních funkcí či jejich vynásobením číslem dostaneme opět lineární funkci. Matematicky řečeno je množina lineárních funkcí uzavřená na součet a násobení číslem. Zdůrazněme, že v předchozím odstavci jsme zjišťovali chování jednotlivých funkcí tvaru . O každé takové funkci jsme věděli, že splňuje dvě vlastnosti, aditivitu a homogenitu. Tyto vlastnosti se týkají součtu a násobení argumentu funkce, čísla. V tomto odstavci jsme naproti tomu zjišťovali, co dostaneme součtem či vynásobením dvou takových funkcí.
Definice
Lineární zobrazení Nechť X a Y jsou vektorové prostory nad týmž tělesem . Zobrazení z prostoru X do prostoru Y, tj. , se nazývá lineární zobrazení, právě když pro libovolné vektory a pro libovolný prvek z tělesa toto zobrazení splňuje následující dvě podmínky: aditivita: , homogenita: .
Obraz vektoru při lineárním zobrazení se značí . Často se ale pro jednoduchost závorky vypouští a píše se jen . Podobně obraz množiny se značí .
Lineární struktura zobrazení i vektorového prostoru, na kterém je definováno, umožňuje velmi zjednodušit zápis, jakým toto zobrazení působí na libovolný vektor. Tato vlastnost tím spíše vyplyne na konečně rozměrných prostorech. Mějme vektorový prostor konečné dimenze n. Existuje v něm tedy n-členná báze a každý vektor tohoto prostoru lze vyjádřit jako vhodnou lineární kombinaci . Využijeme-li nyní linearity zobrazení A, dostáváme
Obraz každého vektoru lze tedy vyjádřit jako nějakou lineární kombinaci vektorů , kde koeficienty jsou totožné s koeficienty u vzoru . Celou informaci o struktuře zobrazení A lze tak získat pouze ze znalosti toho, jak působí na bazické vektory. Rozvinutím právě uvedené myšlenky pak dospíváme k definici matice lineárního zobrazení, jak je uvedeno níže.
Příbuzné pojmy Lineární zobrazení se nazývá lineární operátor, právě když ve výše uvedené definici je prostor Y totožný s prostorem X. Neboli zobrazení L je lineární operátor, právě když je lineární podle definice výše a platí . Často se ale pojem zobrazení a operátor zaměňuje a lze se setkat i s lineárními zobrazeními, pro něž a která jsou přitom i přesto označována jako operátory.
Dalším zajímavým typem lineárního zobrazení je lineární funkcionál. Lineární funkcionál je lineární zobrazení z prostoru X do tělesa , nad nímž je prostor X definován. Každému vektoru z X tak přiřazuje skalár z .
Při klasifikaci různých druhů lineárních zobrazení, resp. operátorů, se používá následující názvosloví. Řekneme, že lineární zobrazení , které zobrazuje prostor X do prostoru Y je monomorfní, právě když je prosté, epimorfní, právě když je na, izomorfní, právě když je prosté a na, tj. je to bijekce, regulární operátor, právě když je prosté a je to lineární operátor, tj. X = Y.
Antilineární zobrazení Jako dvojník lineárnímu zobrazení se definuje i antilineární zobrazení, které se od lineárního liší pouze v tom, že při vytýkání skaláru tento komplexně sdružíme. Přesně tedy nechť X a Y jsou vektorové prostory nad týmž číselným tělesem . Zobrazení z prostoru X do prostoru Y, tj. , se nazývá antilineární zobrazení, právě když pro libovolné vektory a pro libovolné číslo z tělesa toto zobrazení splňuje následující dvě podmínky: aditivita: antihomogenita: kde značí komplexní sdružení čísla .
Multilineární, bilineární, seskvilineární zobrazení
Pojem linearity lze zobecnit i na zobrazení více proměnných. Mějme zobrazení L z konečného kartézského součinu vektorových prostorů do jistého vektorového prostoru, tj. . Pak nazýváme multilineární zobrazení právě, když je lineární v každé své proměnné. Neboli, mějme libovolné vektory a skaláry , kde je těleso společné všem vektorovým prostorům . Pak L je multilineární právě, když aditivita:
homogenita:
Mezi multilineární zobrazení patří například tenzory, k-formy či diferenciální formy. Velmi často se lze setkat s multilineárními zobrazeními dvou proměnných, tj. v definici výše. Taková zobrazení se nazývají bilineární. Zobrazení je tedy bilineární právě, když
Podobné zobrazení k bilineárnímu je seskvilineární zobrazení (latinská předpona sesqui- znamená "jeden a půl(krát)"). Přísně vzato zde již vybočujeme z lineárních zobrazení, protože seskvilineární zobrazení je zobrazení dvou proměnných, přičemž v jedné z nich je lineární a ve druhé je antilineární. Velmi důležitým příkladem seskvilineárního zobrazení je skalární součin. Matematici a fyzikové přitom nejsou zajedno, ve které proměnné je zobrazení antilineární a uplatňují se tak dvě různé konvence. Zde uvedeme definici, v níž je zobrazení antilineární ve druhé proměnné. Zobrazení je seskvilineární právě, když
kde značí komplexní sdružení čísla (za bereme číselné těleso). Jediný rozdíl oproti bilineárnímu zobrazení je tedy ten, že vytknutí čísla z druhé proměnné způsobí, že se toto číslo komplexně sdruží.
Prostory lineárních zobrazení Množina všech lineárních zobrazení z prostoru X do prostoru Y se obvykle označuje symbolem , podobně množina všech lineárních operátorů na prostoru X se značí . Tyto množiny jsou uzavřené na sčítání dvou zobrazení a na jejich násobení skalárem, definujeme-li obě operace následujícím způsobem:
Součet zobrazení je zobrazení , které pro každý vektor splňuje .
Násobek zobrazení prvkem je zobrazení , které pro každý vektor splňuje .
Uzavřenost je snadno nahlédnutelná v případě lineárních funkcí tak, jak je to ukázáno v druhé části oddílu Motivace výše. Lze dokonce ukázat, že samotná množina lineárních zobrazení je vektorový prostor.
Nastiňme nyní důkaz. Pro existenci vektorového prostoru potřebujeme čtyři věci. Neprázdnou množinu , těleso , operaci sčítání vektorů a operaci násobení vektoru prvkem z tělesa, skalárem. Jako vektory nyní vystupují samotná lineární zobrazení, sčítání a násobení jsme si výše právě definovali. V definici lineárního zobrazení z prostoru X do prostoru Y jsme požadovali, aby tyto prostory byly nad stejným tělesem . Toto těleso použijeme i jako těleso pro náš právě budovaný vektorový prostor lineárních zobrazení. Konečně jako množinu vezmeme množinu , která je jistě neprázdná. Pro libovolné vektorové prostory X a Y zde totiž jistě leží nulové lineární zobrazení, které každému vektoru z X přiřazuje nulový vektor z Y. Je množina uzavřená na sčítání a násobení lineárních zobrazení? Neboli, je součet či násobek lineárních zobrazení opět lineární zobrazení? Pro libovolná platí
kde jsme v první rovnosti využili definici sčítání zobrazení a jejich linearitu. Ve druhé rovnosti jsme pak přeskupili členy coby vektory v Y a tyto přeskupené členy jsme opět dali dohromady využívajíce definice součtu zobrazení. Máme tak ověřenu aditivitu zobrazení A+B. Podobně ověříme i homogenitu:
Nyní víme, že součet lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení. Analogicky bychom ověřili, že násobek lineárního zobrazení je lineární zobrazení.
Zbývá nám tedy ještě dokázat axiomy vektorového prostoru, abychom mohli shrnout, že je vektorový prostor: komutativita sčítání lineárních zobrazení: , kde první a poslední rovnost plyne z definice sčítání zobrazení a druhá rovnost plyne z toho, že vektory v prostoru Y komutují, asociativita sčítání lineárních zobrazení: ověřila by se naprosto analogicky jako komutativita, nulovým prvkem je nulové lineární zobrazení zmíněné výše, opačným vektorem k zobrazení A je zjevně (-1) A, kde -1 je prvek tělesa opačný k jednotkovému prvku, ostatní vlastnosti zmíněné v definici vektorového prostoru by se ověřili analogicky prvnímu bodu s komutativitou.
Související pojmy
Jádro zobrazení Jádro lineárního zobrazení A je taková podmnožina definičního oboru A, kterou A zobrazuje na nulový vektor. Jádro zobrazení A značíme symbolem (jedná se o zkratku ze slova kernel, anglického označení pro jádro). Přesněji: Mějme dva vektorové prostory X a Y nad stejným tělesem . Dále nechť A je lineární zobrazení z X do Y, tj.. Pak jádro zobrazení A je množina