DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.
Definice Nechť je diferencovatelná varieta dimenze a je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na . Pak de Rhamův diferenciál je systém zobrazení definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.
Nechť a jsou nějaké souřadnice z atlasu . Pak pro každý multiindex existují hladké funkce , že na U, kde a a De Rhamův diferenciál formy je dán předpisem kde je de Rhamův diferenciál funkce (0-formy) . Tento je definován přepisem .
Vlastnosti
nebo obšírněji (diferenciál).
(linearita nad )
(Leibnizovo pravidlo)
Poznámka
Diferenciální formu nazveme uzavřenou, pokud . Diferenciální formu nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma , že .
Kohomologie komplexu (tzv. de Rhamova komplexu) se nazývají de Rhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou de Rhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.
Literatura Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975. Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998. Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish. Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons. Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003. Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Algebraická topologie