Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.
Znění Pro každý spojitý lineární funkcionál na Hilbertově prostoru existuje jediný vektor takový, že: . A navíc:
Poznámky Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.
V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:
ale .
Využití V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.
Důkaz Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:
Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.
Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.
Pro je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že . je tedy uzavřený vlastní podprostor , existuje tedy nenulový vektor .
Označme a ukažme, že . Pro platí: . Jelikož je libovolný a platí , stačí již jen ukázat, že:
Můžeme ztotožnit , takže existence je dokázána.
Jednoznačnost dokážeme sporem: Předpokládejme, že existují dva vektory , takové že: Z toho plyne: , což je spor s předpokladem.
Zbývá dokázat dovětek: Vezměme vektor , takový, že , pak platí:
Zároveň však: Z čehož vyvodíme . ∎
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Matematické věty a důkazy