náhled|Jehlan Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny – tento bod se obvykle nazývá (hlavní) vrchol jehlanu. Vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.
Obecné vlastnosti
Objem a povrch Objem jehlanu se vypočítá jako
kde je obsah podstavy a výška.
Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn – jejich počet je dán počtem stran základny.
kde je obsah podstavy a je obsah pláště.
Z výše uvedených vzorců vyplývá, že se posunováním vrcholu jehlanu v rovině rovnoběžné s rovinou základny nemění objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch – ten může při posouvání vrcholu v dané rovině do velké vzdálenosti od podstavy růst nade všechny meze.
Souměrnost Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.
Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (zjednodušeně: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.
Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny (zjednodušeně: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“). Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.
Další vlastnosti Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o stranách, má jehlan: celkem vrcholů, celkem hran, celkem stěn. Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro ). Jehlan je konvexní právě tehdy, je-li konvexní jeho základna.
Speciální případy Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový jehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jej kosý.
Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.
alt=pyramid|náhled|Pravidelný kolmý jehlan Výpočet údajů v pravidelném -bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany a jeho výškou :
Výška boční stěny:
Délka boční hrany:
Povrch:
Objem:
Sklon boční hrany:
Sklon boční stěny:
Odchylka bočních hran:
Odchylka boční a podstavné hrany:
Odchylka bočních stěn:
Speciálně pro je
Pravidelný čtyřstěn vpravo|Pravidelný čtyřstěn. Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran – jedná se tedy o jedno z platónských těles.
Jeho objem a obsah lze vypočítat z délky jeho hrany :
Jeho výšku lze vypočítat jako
Pravidelný čtyřboký jehlan náhled|Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch. Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.
Jeho objem a povrch lze vypočítat z délky strany základny a výšky :
+ Vícerozměrná geometrická tělesa d=2 trojúhelník čtverec šestiúhelník pětiúhelník d=3 jehlan krychle, oktaedr krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn dvanáctistěn, dvacetistěn d=4 5nadstěn teserakt, 16nadstěn 24nadstěn 120nadstěn,600nadstěn d=5 5simplex penterakt, 5ortoplex d=6 6simplex hexerakt, 6ortoplex d=7 7simplex hepterakt, 7ortoplex d=8 8simplex okterakt, 8ortoplex d=9 9simplex ennerakt, 9ortoplex d=10 10simplex dekerakt, 10ortoplex d=11 11simplex hendekerakt, 11ortoplex d=12 12simplex dodekerakt, 12ortoplex d=13 13simplex triskaidekerakt, 13ortoplex d=14 14simplex tetradekerakt, 14ortoplex d=15 15simplex pentadekerakt, 15ortoplex d=16 16simplex hexadekerakt, 16ortoplex d=17 17simplex heptadekerakt, 17ortoplex d=18 18simplex oktadekerakt, 18ortoplex d=19 19simplex ennedekerakt, 19ortoplex d=20 20simplex ikosarakt, 20ortoplex
Literatura Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, , str. 104-106 Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, , str. 117-120
Související články Geometrický útvar Mnohostěn Komolý jehlan Válec Platónská tělesa
Externí odkazy
Kategorie:Mnohostěny