325px|vpravo|náhled|Graf kubické funkce
Kubická rovnice (z lat. „krychle“) je algebraická rovnice třetího stupně. Její obecný tvar vypadá následovně: , kde .
Jednotlivé členy mají tato označení: je kubický člen, je kvadratický člen, je lineární člen a je absolutní člen.
Vedoucí koeficient musí být různý od nuly (jinak by se jednalo o rovnici nižšího řádu), , , a jsou obecně komplexní čísla.
Diskriminant Diskriminant vypočítáme podle vztahu Mohou nastat tři případy:
, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen , rovnice má tři reálné kořeny , rovnice má jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny
Řešení rovnice Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:
Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar
Substitucí odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu
Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí a vynásobením obou stran . Po úpravách dostaneme rovnici , což je kvadratická rovnice vůči . Po nalezení zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu . Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.
Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.
Kubická rovnice bez absolutního členu U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.
Příklad
Dále řešíme kvadratickou rovnici , jejími kořeny jsou čísla 2 a 3. Kubická rovnice má tedy kořeny .
Reciproká rovnice Jestliže koeficienty pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem , získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem .
Příklad
Kořeny jsou následující: .
Kubická rovnice s celočíselným kořenem Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1.
Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu Taková rovnice je binomická, např.: .
Viètovy vzorce Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
Související články Lineární rovnice Kvadratická rovnice Binomická rovnice Cardanovy vzorce Viètovy vzorce
Externí odkazy
Kategorie:Algebra Kategorie:Rovnice