Varieta je v matematice topologický prostor, který je v okolí každého svého bodu lokálně podobný eukleidovskému prostoru.

Variety zobecňují pojmy přímky, roviny a obecně eukleidovských prostorů na objekty, které mohou mít složitější globální topologickou strukturu. Například kružnice, sféra nebo torus nejsou globálně eukleidovskými prostory, avšak v dostatečně malém okolí každého bodu se jim podobají.

Na varietách lze zavádět další geometrické struktury, například tečné prostory, tečné svazky, tenzorová pole, konexe nebo metrický tenzor. Tyto struktury tvoří základ diferenciální geometrie a nacházejí uplatnění mimo jiné v teoretické fyzice, zejména v obecné teorii relativity.

Variety se podle dodatečných struktur a vlastností dělí například na topologické, diferencovatelné, Riemannovské, symplektické nebo komplexní variety.

Pojem variety zavedl v polovině 19. století Bernhard Riemann ve své habilitační přednášce Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, která položila základy moderní diferenciální geometrie.

Intuitivní představa

Základní myšlenkou variety je, že prostor může být globálně složitý, ale lokálně vypadá jednoduše jako eukleidovský prostor.

Například kružnice není totéž co přímka, protože tvoří uzavřenou křivku. Pokud však pozorujeme dostatečně malé okolí libovolného bodu kružnice, nelze jej od okolí bodu na přímce lokálně rozlišit. Kružnice je proto jednorozměrnou varietou.

Podobně sféra nebo torus nejsou totožné s rovinou, avšak v dostatečně malém okolí každého bodu se chovají jako dvourozměrný eukleidovský prostor. Jsou tedy dvojrozměrnými varietami.

Dimenze variety je rovna dimenzi eukleidovského prostoru, kterému je varieta lokálně podobná. Kružnice má dimenzi 1, sféra a torus dimenzi 2.

Pojem variety umožňuje studovat geometrické objekty pomocí lokálních vlastností, přestože jejich globální tvar a topologie mohou být podstatně složitější.

Definice

Varieta dimenze je topologický prostor , který je lokálně homeomorfní eukleidovskému prostoru .

Formálně je varieta určena systémem lokálních souřadnic nazývaným atlas. Atlas tvoří množina otevřených oblastí , které pokrývají celou varietu,

a zobrazení

nazývaných souřadnicové mapy. Každá souřadnicová mapa převádí část variety na otevřenou oblast eukleidovského prostoru.

Na průnicích dvou oblastí musí být jednotlivé souřadnicové mapy navzájem kompatibilní. Tato kompatibilita je popsána pomocí přechodových funkcí

které převádějí souřadnice mezi různými mapami atlasu.

Pokud jsou přechodové funkce spojité, mluvíme o topologické varietě. Jsou-li diferencovatelné libovolného řádu, jedná se o hladkou neboli diferencovatelnou varietu.

Tečné prostory

Na hladké varietě lze v každém bodě definovat tečný prostor , který představuje množinu všech tečných vektorů v daném bodě variety.

Tečné prostory všech bodů variety lze sjednotit do jednoho geometrického objektu nazývaného tečný svazek

Řezy tečného svazku tvoří vektorová pole, která popisují směry a rychlosti pohybu na varietě.

Tečné prostory umožňují zavést diferenciální počet na varietách a tvoří základ většiny konstrukcí v diferenciální geometrii.

Dodatečné struktury

Samotná varieta určuje pouze topologickou a hladkou strukturu prostoru. Pro studium geometrických a fyzikálních vlastností se na varietách často zavádějí další struktury.

Jednou z nejdůležitějších je metrický tenzor, který umožňuje definovat délky, úhly, objemy a křivost. Varieta vybavená metrickým tenzorem se nazývá Riemannovská varieta.

Další významnou strukturou je konexe, která umožňuje porovnávat vektory v různých bodech variety a zavádí pojmy paralelní přenos a geodetika.

Na varietách lze rovněž definovat kotečný svazek, tenzorový svazek, tenzorové pole, diferenciální formy a další geometrické objekty. Tyto struktury tvoří matematický základ moderní geometrie a mnoha fyzikálních teorií, zejména obecné teorie relativity.

Příklad thumb|right|Sféra nemůže být pokryta jedinou souřadnicovou mapou. Atlas lze vytvořit například pomocí dvou stereografických projekcí ze severního a jižního pólu. Klasickým příkladem variety je sféra

Sféra není globálně eukleidovským prostorem, protože je uzavřená a nemá okraj. V okolí každého svého bodu je však lokálně podobná prostoru , a tvoří tedy varietu dimenze .

Atlas sféry lze vytvořit například pomocí dvou stereografických projekcí definovaných na sféře bez severního a jižního pólu. Tyto mapy převádějí části sféry na otevřené oblasti prostoru a jejich přechodová funkce je hladká. Tím je určena hladká struktura sféry.

Podobným způsobem lze zavést strukturu variety také na toru, kružnici a mnoha dalších geometrických objektech.

Typy variet

Mezi nejvýznamnější speciální typy variet patří:

Topologická varieta

Topologická varieta je topologický prostor, který je lokálně homeomorfní eukleidovskému prostoru. Neobsahuje žádnou dodatečnou diferenciální ani geometrickou strukturu.

Diferencovatelná varieta

Diferencovatelná varieta je varieta vybavená hladkou strukturou, která umožňuje definovat tečné prostory, derivace, vektorové pole a další objekty diferenciální geometrie.

Riemannovská varieta

Riemannovská varieta je diferencovatelná varieta vybavená metrickým tenzorem, který umožňuje definovat délky, úhly, objemy a křivost.

Pseudo-Riemannovská varieta

Pseudo-Riemannovská varieta je diferencovatelná varieta vybavená metrickým tenzorem, který není pozitivně definitní. Zvláštním případem je Lorentzovská varieta, používaná v obecné teorii relativity.

Symplektická varieta

Symplektická varieta je diferencovatelná varieta vybavená uzavřenou nedegenerovanou diferenciální 2-formou. Představuje základní matematický model fázového prostoru v klasické mechanice.

Komplexní varieta

Komplexní varieta je varieta, jejíž lokální souřadnice jsou komplexní čísla a přechodové funkce jsou holomorfní.

Kählerova varieta

Kählerova varieta je komplexní varieta, která je současně Riemannovskou a symplektickou varietou a všechny tyto struktury jsou navzájem kompatibilní.

Lieova grupa

Lieova grupa je varieta, která je současně grupou, přičemž grupové operace jsou hladká zobrazení. Příklady představují ortogonální grupa, unitární grupa nebo Lorentzova grupa.

Algebraická varieta

Algebraická varieta je množina řešení soustavy polynomiálních rovnic. Je základním objektem algebraické geometrie a bývá studována pomocí zariské topologie.

Einsteinovská varieta

Einsteinovská varieta je Riemannovská nebo pseudo-Riemannovská varieta, jejíž Ricciho tenzor je úměrný metrickému tenzoru. Hraje významnou roli v geometrii a teorii gravitace.

Odkazy Reference

Literatura Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999 Kovalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995 Thierry Aubin, A course in differential geometry, AMS 2001

Související články

Externí odkazy

Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Riemannova geometrie Kategorie:Topologie