Věta o dimezích součtu a průniku podprostorů, též zvané věta o dimenzích spojení a průniku apod. je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí dvou podprostorů téhož vektorového prostoru.
Jde o analogii principu inkluze a exkluze pro dva vektorové prostory.
Znění
Nechť a jsou dva podprostory téhož prostoru a oba mají konečnou dimenzi. Pak platí:
,
přičemž součet značí podprostor určený množinou .
Ukázky
Jsou-li a dvě roviny procházející počátkem v třírozměrném euklidovském prostoru , potom oba mají dimenzi 2, jejich průnikem je přímka, což je jednodimenzionální prostor a součtem je celý prostor .
Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:
Pro další ukázku nechť a jsou dva třídimezionální podprostory prostoru dimenze 5. Součet je též podprostorem , a tak jeho dimenze nemůže přesáhnout hodnotu 5.
Rovnost uvedená ve větě vede na odhad:
,
z něhož vyplývá, že lze nalézt alespoň jeden nenulový vektor ležící v a současně ve . Tato skutečnost vyplývá čistě ze znalostí dimenzí podprostorů a , aniž by bylo třeba zkoumat jejich další vlastnosti.
Důkaz
Protože je podprostorem prostoru , má nějakou bázi , kde .
Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů o celkem lineárně nezávislých vektorů na bázi podprostoru . Podobně lze tutéž množinu rozšířit o vektory na bázi prostoru . Z konstrukce vyplývá, že a .
Zbývá ověřit, že množina je jednou z možných bází podprostoru .
Libovolné vektory a jsou lineárními kombinacemi vektorů z , a proto tato množina generuje podprostor .
V hypotetické situaci, kdyby množina netvořila bázi a byla tudíž lineárně závislá, bylo by možné najít koeficienty netriviální lineární kombinace takové, že:
Potom by vektor , daný výrazem , splňoval i . Protože by v alespoň jedné z těchto rovností byl na pravé straně nenulový koeficient u alespoň jednoho z členů, a vektory v obou kombinacích jsou lineárně nezávislé, byl by vektor nenulový. V důsledku by obě lineární kombinace byly netriviální.
Ovšem z první z kombinací vyplývá , z druhé , v důsledku , a tak jediné nenulové koeficienty mohou být z množiny . V důsledku by druhá lineární kombinace byla triviální, čili , což není možné.
Proto zkoumaný předpoklad, že by množina byla lineárně závislá, je sporný. Množina je ve skutečnosti lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru .
Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:
Dlužno podotknout, že v uvedené konstrukci mohou být jeden i více parametrů nulových, což pak odpovídá situaci, kdy prostory a jsou až na počátek disjuktní, nebo jsou v inkluzi, či se shodují.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Vektorový prostor Lineární zobrazení Matice Soustava lineárních rovnic
Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Matematické věty a důkazy