Věta o obvodovém a středovém úhlu je matematická věta popisující vztah mezi obvodovým a středovým úhlem příslušných jednomu oblouku kružnice.
Znění 260px|náhled|vpravo|Obvodové úhly θ (modře a zeleně) přísluší stejnému oblouku (purpurově). Středový úhel 2θ (červeně) přisluší témuž oblouku, a proto je dvakrát větší. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného témuž oblouku.
Důkaz Pro důkaz věty o obvodovém a středovém úhlu se popisují tři případy polohy ostrého obvodového úhlu vůči středu kružnice:
1. Střed kružnice ležící na rameni obvodového úhlu 280px|bezrámu|vlevo
Bod O (střed kružnice k) leží na jednom rameni ostrého obvodového úhlu AVB. Body A, V a B leží na kružnici k, přičemž bod V je vrcholem daného obvodového úhlu a body A a B prochází ramena tohoto úhlu. Trojúhelník VAO je rovnoramenný, protože délky úseček OV a OA (poloměry kružnice) jsou shodné. Z toho vyplývá, že úhly AVO a VAO jsou velikostně také shodné. K velikosti úhlu VOA lze dojít dvěma způsoby:
a) dopočtením vnitřního úhlu trojúhelníku VAO pomocí velikosti obvodového úhlu ψ:
b) odečtením úhlu θ od přímého úhlu VOB, kdy θ je středový úhel příslušný menšímu oblouku AB:
Z čehož vyplývá:
.
2. Střed kružnice ležící uvnitř obvodového úhlu 280px|bezrámu|vlevo
Jestliže je bod O vnitřním bodem obvodového úhlu CVD, pak polopřímka VO protíná menší oblouk CD v bodě E a dělí jej na dva oblouky CE a DE. Oblouku DE přísluší obvodový úhel DVE a středový úhel DOE. Podle prvního důkazu je velikost úhlu DOE dvojnásbná velikosti úhlu DVE. Stejně tak lze první důkaz aplikovat pro úhly CVE a COE. Výslednými vztahy jsou rovnice:
a , kde ψ1 a ψ2 jsou obvodové úhly a θ1 a θ2 jsou úhly středové. Sečtením obou rovnic vznikne:
Součet obvodových úhlů ψ1 a ψ2 je roven ψ0 a součet středových úhlů θ1 a θ2 je roven θ0, z čehož plyne: .
3. Střed kružnice ležící vně obvodového úhlu 280px|bezrámu|vlevo
Jestliže bod O nenáleží obvodovému úhlu DVC, pak polopřímka VO protíná kružnici k v bodě E. K menšímu oblouku ED přísluší obvodový úhel EVD a středový úhel EOD; přitom bod O leží na jednom rameni obvodového úhlu. Podle prvního důkazu je středový úhel EOD opět dvakrát větší než obvodový úhel EVD. Stejně tak je i velikost úhlu EOC dvakrát větší než EVC. Výslednými vztahy jsou rovnice:
a , kde ψ1 a ψ2 jsou obvodové úhly a θ1 a θ2 jsou úhly středové. Odečtením těchto rovnic vychází:
Rozdíl obvodových úhlů ψ2 a ψ1 je roven ψ0 a rozdíl středových úhlů θ2 a θ1 je roven θ0, z čehož vyplývá: .
Větší oblouk a půlkružnice Pro větší oblouk a půlkružnici je důkaz jednodušší, nastane totiž pouze případ 2.
Důsledky věty 220px|náhled|vpravo|Velikost obvodových úhlů pro daný oblouk AB se nemění.
Z věty o obvodovém a středovém úhlu vyplývají tyto důsledky: Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý – tato věta byla dokázána již Thalétem z Milétu, a je po něm také pojmenována Thaletova věta Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB (menšímu a většímu) je úhel přímý
Reference
Literatura
Související články Thaletova věta Středový úhel Planimetrie
Kategorie:Matematické věty a důkazy