Kovariantní derivace je geometrický způsob derivování vektorových a tenzorových polí, při němž se využívá jejich paralelní přenos pomocí tzv. konexe. Základní vlastností kovariantního derivování je, že převádí tenzorová pole opět v tenzorová pole, což při obvyklém způsobu derivování neplatí.
Obyčejná parciální derivace vektorového pole v křivočarých souřadnicích nevyjadřuje objektivní změny vektorových a tenzorových polí, protože např. i konstantní vektorové pole bude mít v křivočarých souřadnicích proměnné složky a tedy nenulové parciální derivace svých komponent. Z toho důvodu je nutno použít patřičnou konexi a nejprve vektory přenést paralelně do jednoho společného bodu a pak teprve porovnávat jejich komponenty.
Historie a vývoj Koncept kovariantní derivace vznikl v rámci rozvoje diferenciální geometrie a snahy popsat geometrii zakřivených prostorů „vnitřním“ způsobem:
Elwin Bruno Christoffel (1869): Položil základy zavedením tzv. symbolů tří indexů (dnes Christoffelovy symboly), které umožnily derivování v zakřivených souřadnicích. Gregorio Ricci-Curbastro (1880–1890): Zakladatel absolutního diferenciálního kalkulu. Rozvinul myšlenku „kovariantního diferencování“, nezávislého na volbě souřadnic. Tullio Levi-Civita (1917): Dal pojmu geometrický význam skrze koncept paralelního přenosu. Ukázal, že kovariantní derivace popisuje změnu vektoru vůči lokální geometrii variety. Hermann Weyl (1918): Zobecnil konexi v rámci pokusu o sjednocení gravitace a elektromagnetismu a zavedl pojem afinní konexe. Élie Cartan (20. léta 20. stol.): Zavedl moderní přístup pomocí diferenciálních forem.
Motivace a transformace souřadnic Hlavním problémem parciální derivace je, že se při změně souřadnic z na netransformuje jako tenzor. Kvůli Leibnizovu pravidlu se v transformačním vztahu objevuje dodatečný člen s druhou derivací souřadnic:
Kovariantní derivace tento nedostatek napravuje přidáním korekčního členu (konexe), který tento nežádoucí „netenzorový“ příspěvek vyruší.
Formální definice Nechť je hladká varieta a je afinní konexe na . Kovariantní derivace vektorového pole ve směru (značíme ) splňuje následující axiomy: Linearita v X: Aditivita v Y: Leibnizovo pravidlo:
Kde jsou hladké funkce na .
Souřadnicové vyjádření V lokálních souřadnicích definujeme Christoffelovy symboly . Kovariantní derivace složek vektoru je pak dána vztahem:
Pro kovektor (duální vektorové pole) platí:
Díky transformačnímu zákonu Christoffelových symbolů se netenzorové členy při transformaci souřadnic vzájemně odečtou a výsledek se transformuje jako tenzor typu (1,1).
Zkrácený zápis (čárková a středníková konvence) V literatuře o obecné relativitě se často používá zkrácený indexový zápis, kde čárka značí parciální derivaci a středník derivaci kovariantní:
Parciální derivace: Kovariantní derivace:
Vztah pro kovariantní derivaci vektoru lze tedy kompaktně zapsat jako:
Tento zápis je užitečný zejména při práci s derivacemi vyšších řádů nebo při zápisu složitých tenzorových rovnic, jako jsou Maxwellovy rovnice v zakřiveném prostoročase.
Význam ve fyzice V obecné relativitě je kovariantní derivace klíčová pro formulaci fyzikálních zákonů v zakřiveném prostoročase. Nahrazením parciálních derivací kovariantními (tzv. princip minimální substituce) zajistíme, že rovnice (např. Einsteinovy rovnice gravitačního pole) zůstávají platné v libovolné souřadnicové soustavě.
Literatura
Související články Diferenciální geometrie Obecná relativita Christoffelovy symboly Tenzor
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Riemannova geometrie Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Aplikovaná matematika Kategorie:Teoretická fyzika