Levi-Civitova konexe je v diferenciální geometrii jediná afinní konexe na Riemannově varietě, která je současně kompatibilní s metrikou a je beztorzní.
Je-li metrický tenzor a vektorová pole, pak Levi-Civitova konexe splňuje podmínky
kde označuje Lieovu závorku vektorových polí.
První podmínka vyjadřuje kompatibilitu s metrikou. Metrický tenzor je vzhledem ke konexi kovariantně konstantní, takže při paralelním přenosu se zachovávají délky vektorů i úhly mezi nimi.
Druhá podmínka vyjadřuje nulovou torzi. Konexe splňující tuto podmínku se nazývají beztorzní.
Levi-Civitova konexe určuje na varietě pojem geodetiky, paralelního přenosu a umožňuje definovat Riemannův tenzor křivosti.
Konexe je pojmenována po italském matematikovi Tulliu Levi-Civitovi.
Vlastnosti
Levi-Civitova konexe je jednoznačně určena požadavkem kompatibility s metrikou a nulové torze. Tyto vlastnosti zajišťují, že geometrické veličiny definované pomocí metriky jsou při paralelním přenosu zachovány.
Kompatibilita s metrikou
Kompatibilita s metrikou znamená, že metrický tenzor je vzhledem ke konexi kovariantně konstantní,
Jsou-li a vektory paralelně přenášené podél křivky, pak se při přenosu nemění jejich skalární součin
V důsledku toho jsou zachovány délky vektorů i úhly mezi nimi.
Beztorznost
Levi-Civitova konexe je beztorzní, tedy splňuje vztah
kde je Lieova závorka vektorových polí a .
Ekvivalentně lze tuto podmínku vyjádřit nulovou hodnotou tenzoru torze
V souřadnicích je beztorznost ekvivalentní symetrii Christoffelových symbolů v dolních indexech,
Christoffelovy symboly
Ve zvolené soustavě souřadnic lze Levi-Civitovu konexi vyjádřit pomocí Christoffelových symbolů . Kovariantní derivace vektorového pole má potom tvar
Christoffelovy symboly Levi-Civitovy konexe jsou jednoznačně určeny metrickým tenzorem a jeho prvními derivacemi. Platí
Tento vztah vyplývá z požadavků kompatibility s metrikou a nulové torze.
Přestože Christoffelovy symboly nejsou složkami tenzoru, určují způsob paralelního přenosu, geodetiky a křivost variety.
Existence a jednoznačnost
Základní věta riemannovské geometrie říká, že na každé Riemannově varietě existuje právě jedna afinní konexe, která je současně kompatibilní s metrikou a beztorzní.
Tato konexe se nazývá Levi-Civitova konexe. Je tedy jednoznačně určena metrickým tenzorem variety.
Díky této větě lze z metrického tenzoru odvodit další důležité geometrické objekty, například geodetiky, paralelní přenos a Riemannův tenzor křivosti.
Odkazy Reference
Související články Konexe Afinní konexe Metrický tenzor
Externí odkazy Manfredo P. do Carmo Riemannian Geometry (PDF)
Kategorie:Geometrie Kategorie:Riemannova geometrie