Pod pojmem fibrovaný prostor se v matematice, zejména pak v topologii, rozumí objekt, jenž je v jistém smyslu zobecněním pojmu kartézského součinu množin. Jedná se o prostor, který lze lokálně popsat jako kartézský součin, globálně však může mít netriviální topologickou strukturu. Známými příklady jednoduchých netriviálních fibrovaných prostorů jsou například Möbiova páska či Kleinova láhev. Aplikace tento topologický pojem nachází v různých odvětvích fyziky, kde lze s jeho pomocí např. konzistentně popisovat polohy a hybnosti fyzikálních systémů v klasické mechanice, pole v kvantové teorii pole či vlastnosti časoprostoru v obecné teorii relativity. Kalibrační teorie pak nacházejí v teorii fibrovaných prostorů solidní matematický základ.
Definice Zde si představíme definici fibrovaného prostoru, jež může působit dost abstraktním a těžko stravitelným dojmem. V následujícím oddíle je proto tento pojem vyložen v povědomějších termínech pro snazší pochopení. Navíc, v následující definici požadujeme, aby jednotlivé množiny byly diferencovatelné variety. Tento požadavek však není nutný a místo diferencovatelných variet lze brát obecněji topologické prostory, kde současně místo hladkosti zobrazení vystupujících v definici požadujeme pouze jejich spojitost. Fibrované prostory, kde za množiny bereme diferencovatelné variety, se pak v tomto kontextu označují jako diferencovatelné fibrované prostory.
Fibrovaný prostor Fibrovaný prostor (angl. fibre bundle) je definován jako uspořádaná čtveřice kde je celkový prostor, báze, typické vlákno a projekce.
Základní vlastností fibrovaného prostoru je lokální trivialita
která platí pro každé dostatečně malé okolí .
To znamená, že v dostatečně malém okolí každého bodu báze vypadá fibrovaný prostor stejně jako kartézský součin . Zobrazení
se nazývají lokální trivializace. Každá lokální trivializace poskytuje lokální popis fibrovaného prostoru v oblasti .
Množiny tvoří otevřené pokrytí báze , tedy
Na průnicích dvou oblastí a musí být odpovídající trivializace navzájem kompatibilní. Tato kompatibilita je popsána pomocí přechodových funkcí, které určují způsob převodu mezi různými lokálními popisy téhož fibrovaného prostoru.
Formálně lze fibrovaný prostor popsat jako uspořádanou čtveřici
doplněnou o otevřené pokrytí báze a odpovídající systém lokálních trivializací. Lokálně tedy fibrovaný prostor vypadá stejně jako kartézský součin , globálně však může mít netriviální topologickou strukturu.
Přechodová zobrazení
Okolí pokrývají bázovou varietu . Ke každému je přitom přiřazena lokální trivializace . Na průniku dvou okolí tak může být bod celkového prostoru vyjádřen pomocí dvou různých trivializací
kde splňuje . Skutečnost, že v obou případech vystupuje stejný bod , vyplývá z definice lokální trivializace. Obecně se však mohou lišit prvky .
Lze proto zavést zobrazení
předpisem
Takto definovaná zobrazení se nazývají přechodové funkce. Popisují, jak převádět souřadnice mezi dvěma různými lokálními trivializacemi téhož fibrovaného prostoru.
Přechodové funkce souvisejí s lokálními trivializacemi vztahem
Přechodové funkce splňují podmínky
a na průnicích tří otevřených množin také
Tyto vlastnosti vedou k definici strukturní grupy fibrovaného prostoru. Strukturní grupa popisuje způsob, jakým jsou jednotlivé lokální trivializace navzájem slepovány do jednoho globálního objektu.
Přechodové funkce lze získat z lokálních trivializací, ale platí i opačné tvrzení: ze znalosti vhodné soustavy přechodových funkcí lze fibrovaný prostor zrekonstruovat. Proto se strukturní grupa a přechodové funkce často objevuje přímo v definici fibrovaného prostoru.
Související pojmy
Vlákno nad bodem je inverzní obraz bodu při projekci
Ve vláknovém svazku jsou všechna vlákna lokálně homeomorfní typickému vláknu .
Řez fibrovaného prostoru je zobrazení
splňující podmínku
Řez vybírá z každého vlákna právě jeden bod a lze jej chápat jako pravou inverzi projekce.
Zobrazení fibrovaných prostorů mezi fibrovanými prostory a je dvojice zobrazení
pro kterou platí
Fibrovaný prostor se nazývá triviální, pokud je ekvivalentní kartézskému součinu
V takovém případě má globálně stejnou strukturu jako lokálně.
Dva fibrované prostory jsou ekvivalentní, existuje-li mezi nimi vzájemně jednoznačné zobrazení zachovávající jejich vláknovou strukturu.
Grafická interpretace
Kartézský součin
Kartézský součin variet lze chápat jako nejjednodušší příklad fibrovaného prostoru. Projekce
přiřazuje uspořádané dvojici její druhou složku
Vlákno nad bodem je potom množina
Takový fibrovaný prostor se nazývá triviální, protože jeho celkový prostor je globálně kartézským součinem báze a typického vlákna.
Obecný fibrovaný prostor již nemusí být globálně kartézským součinem. Základní vlastností fibrovaných prostorů je však lokální trivialita, která zaručuje, že pro každé dostatečně malé okolí platí
Fibrovaný prostor tedy lokálně vypadá jako kartézský součin, globálně však může mít složitější topologickou strukturu. Typickými příklady jsou Möbiova páska nebo Kleinova láhev.
Möbiova páska Jedním z nejjednodušších příkladů fibrovaných prostorů, které nelze vyjádřit jako kartézský součin, je Möbiova páska, na níž lze pěkně ilustrovat role jednotlivých objektů vystupujících v definici fibrovaného prostoru. Celá situace je znázorněna na obr. 1 níže. Na tomto obrázku vidíme následující:
červenou barvou je vyobrazen totální prostor E, tedy v tomto případě Möbiova páska, zelenou barvou je vykreslena bázová varieta M, která je v našem případě obyčejnou kružnicí, modrou barvou je zachyceno typické vlákno F; v našem případě se jedná o úsečku.
Na bázové varietě, kružnici, jsou dále pro názornost vybrány tři různé body . Vzory těchto bodů při projekci jsou po řadě vlákna . Vlákno nad bodem je tedy označeno a podobně pro ostatní body. Vidíme tak, že jednomu bodu kružnice odpovídá celá úsečka bodů na Möbiově pásce. Každá z těchto úseček je v podstatě rovna typickému vláknu . Jednotlivé body na dané úsečce lze pak rozlišit pomocí bodů z typického vlákna, kterážto situace je znázorněna pro případ bodu . Jeho projekce na bázovou varietu je a v rámci vlákna je jednoznačně identifikován bodem . Nějakému jinému prvku ze stejného vlákna by odpovídal jiný bod , ačkoli jeho projekce by byla stále rovna , tj. .
Báze, vlákno a projekce Způsob, jakým se došlo od Möbiově pásce ke kružnici, coby bázové varietě, s úsečkou, coby vláknem, je naznačen v animaci na Obr. 2 a podrobněji matematicky rozebrán v následujícím. Möbiova páska je dvourozměrná varieta, kterou můžeme vložit do trojrozměrného prostoru a na jejíž body se pak díky tomu můžeme odkazovat pomocí jejich souřadnic . Parametrické rovnice Möbiovy křivky o jednotkovém poloměru a jednotkové šířce v těchto souřadnicích potom znějí
kde a . Od teď nebudeme rozlišovat mezi Möbiovou páskou a jejím vložením do . Pod bodem Möbiovy pásky tak budeme rozumět trojici čísel vyhovující parametrickým rovnicím výše.
Položíme-li pevně, tak okamžitě vidíme, že křivka je jednotková kružnice ležící ve vodorovné rovině, neboť platí . Za bázovou varietu si tedy skutečně můžeme vzít jednotkovou kružnici, která je parametrizovaná proměnnou . Máme-li na kružnici zvolen pevně jistý počáteční bod, tak mu můžeme přiřadit hodnotu . Pokud zvětšujeme parametr postupně od nuly do , tak projdeme všechny body kružnice. Každému bodu kružnice je tak jednoznačně přiřazeno jisté číslo . Tento vztah budeme v tomto oddíle vyjadřovat zápisem . Kružnice je jednorozměrná křivka a pokud ji vnoříme do trojrozměrného prostoru , tak jí můžeme ztotožnit s množinou . V takovém případě má počáteční bod kružnice souřadnice a souřadnice bodu mají tvar .
Jestliže si nyní ukotvíme parametr a položíme ho rovno číslu , tak lze parametrické rovnice Möbiovy křivky přepsat do tvaru
což je parametrické vyjádření úsečky ve trojrozměrném prostoru (parametr probíhá omezený interval od −1/2 do 1/2). Proměnná tedy parametrizuje vlákno; udává „vzdálenost“ bodu úsečky od jejího středu. Zaveďme pro prvky vlákna podobné značení, jaké jsme přijali pro prvky bázové variety. Konkrétně bod ve „vzdálenosti“ od středu úsečky vyjadřujme vztahem .
Uvažujme nyní nějaký konkrétní bod Möbiovy pásky, např. bod na Obr. 1. Nechť jeho souřadnice znějí pro nějaké a . Za projekci tohoto bodu na bázovou varietu položíme bod na kružnici, jehož vzdálenost od počátečního bodu kružnice je rovna . Pokud si za počáteční bod kružnice zvolíme bod na Obr. 1, pro nějž platí , tak projekcí bodu je bod . V návaznosti na tento postup si tak zavedeme projekci vztahem . Projekce nám tak smaže veškerou informaci o vlákně skrytou v proměnné .
Lokální trivializace Zbývá nám určit lokální trivializace, jež sestávají z okolí pokrývajících bázovou varietu a k nim přiřazených zobrazení splňujících dodatečné podmínky. Za pokrytí kružnice bychom si mohli zvolit dvojici okolí . Pokud bychom uvažovali bázovou varietu coby kružnici vloženou do , tak by šlo vyjádřit tato okolí ve tvaru . Meze intervalů jsme zvolili více méně libovolně, důležité je, aby tyto intervaly byly otevřené a jejich sjednocení bylo nadmnožinou intervalu . Okolí bychom si mohli zvolit i více, rozhodně ne však méně. Později si ukážeme, že jediné okolí pokrývající kružnici M nelze pro zavedení lokálních trivializací použít. Pro aktuální volbu okolí nyní stačí za lokální trivializace vzít zobrazení , , jejichž předpis v parametrizaci pomocí proměnných zní . . Parametrické rovnice Möbiovy pásky jsou tedy v podstatě lokálními trivializacemi. Zobrazení vezme jednak bod kružnice parametrizovaný hodnotou , jednak bod typického vlákna parametrizovaný hodnotou , a této dvojici prvků přiřadí bod Möbiovy pásky, jehož souřadnice se získají z parametrických rovnic. Trivializace se chová podobně, akorát její definiční obor je omezen na hodnoty a . Pro názornost jsou pokrývající okolí i působení lokálních trivializací vykreslena na Obr. 3.
Zodpovězme nyní otázku, proč jsme uvážili dvě okolí namísto jednoho , které by pokrylo celou kružnici a které by mělo tvar . Množina je zjevně pokrývající a otevřená (celá množina vždy patří do své topologie a splňuje tak podmínku otevřenosti). Co nám tedy brání ji použít? Potíž je v tom, že odpovídající lokální trivializace by nebyla na celém svém definičním oboru hladké zobrazení. Abychom toto nahlédli mějme analogicky předchozímu případu . Při obejití kružnice se dostaneme zpět na počátek a musí tedy platit, že hodnoty lokální trivializace pro a se při ukotveném rovnají. Hodnota přísně vzato neleží v definičním oboru a tato podmínka proto zní . Položíme-li , tak se levá strana redukuje do tvaru , zatímco pravá strana přechází na tvar . Rovnost tedy viditelně nenastává a s jediným pokrývajícím okolím Möbiovy pásky si tak nevystačíme. Graficky lze nespojitost zobrazení vidět na animaci v Obr. 2, kde šipka „generující“ pásku na počátku směřuje ven, při oběhnutí kružnice však směřuje dovnitř pomyslného kruhu.
Naše volba dvou okolí s danými trivializacemi problém nespojitosti zobrazení obchází. Zatímco u jednoho okolí mělo toto topologii kruhu a daná trivializace musela být „spojitá v počátečním bodě“, tak pokud použijeme okolí dvě, tak každé z nich má topologii úsečky (bez koncových bodů) a o žádnou spojitost v „počátečním bodě“ se nemusíme starat.
Přechodové funkce Okolí a se překrývají v oblastech a . Označme si první interval písmenem a druhý interval podobně písmenem . Pro úplnost si odvodíme tvar přechodových funkcí a . Vzhledem k tomu, že jedna je inverzí druhé, stačí spočíst . Zde je nutno pro každý z obou intervalů A a B hledat tvar přechodové funkce zvlášť. Pro všechny body , kde , a pro všechny prvky vlákna , , platí . Přechodová funkce je tedy identickým zobrazením. Explicitně, .