Základním pojmem lineární algebry jako disciplíny je vektorový prostor, tedy jistý, přesně specifikovaný, druh množiny. Stejně jako v případě každé libovolné množiny, můžeme i v případě vektorového prostoru uvažovat jeho podmnožiny. Budeme-li však chtít, aby podmnožina vektorového prostoru měla opět lineární strukturu, musíme na její volbu naklást jisté podmínky. Konkrétně jsou z matematického hlediska zajímavé ty podmnožiny vektorového prostoru, které jsou samy vektorové prostory. Takovýmto podmnožinám říkáme vektorové podprostory původního vektorového prostoru (angl. linear subspace či vector subspace). Obyčejně se přívlastek vektorový vynechává a říká se prostě podprostor (i v angličtině se běžně přívlastek vynechává a říká se pouze subspace).
Definice Mějme vektorový prostor nad tělesem . Dále buď neprázdná podmnožina prostoru , která splňuje
Pak množinu nazýváme podprostorem vektorového prostoru a značíme . Někdy se také místo názvu podprostor používá název vektorový modul.
Výše uvedené podmínky v podstatě požadují, aby množina byla uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa. Množinově je lze zapsat jako , , kde obecně součtem dvou podmnožin , vektorového prostoru chápeme množinu všech vektorů tvaru , kde a . Násobkem tělesa a podmnožiny vektorového prostoru (definovaného nad ) chápeme množinu všech vektorů tvaru , kde a (viz též oddíl Vektorové operace s množinami v článku Vektorový prostor).
Je snadné ukázat, že množina obsahující jen nulový prvek, tj. (neplést s prázdnou množinou) je podprostorem každého vektorového prostoru (v každém vektorovém prostoru je axiomaticky zaveden nulový prvek). Stejně tak je zřejmé, že i vektorový prostor je sám sobě podprostorem. Tyto dva speciální, degenerované, případy podprostorů se nazývají triviální podprostory. Všechny podprostory vektorového prostoru vyjma vektorového prostoru samotného se pak nazývají vlastními podprostoryV této souvislosti je třeba upozornit na malou nejednoznačnost v názvosloví. Pojmem vlastní podprostor se někdy též označuje prostor generovaný vlastními vektory lineárního zobrazení pro jedno jeho jisté vlastní číslo. vektorového prostoru . Podprostor je občas nazýván nulový podprostor. Nulový podprostor je zřejmě vlastním podprostorem každého vektorového prostoru pokud .
Z podmínek výše je ihned patrno, že nulový vektor vektorového prostoru je určitě přítomen i v každém jeho podprostoru (stačí ve druhé podmínce položit a nechat libovolný). Uvažujme nyní podprostor vektorového prostoru . Na vektorovém prostoru jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa. Dále můžeme uvažovat zúžení těchto operací na podprostor , který je vůči nim z definice uzavřený. Zanalyzujeme-li vlastnosti podprostoru s takto zúženými operacemi, tak zjistíme, že je vektorový prostor. To je velmi důležité zjištění.
Není těžké též dokázat v podstatě obrácenou implikaci. Mějme neprázdnou podmnožinu vektorového prostoru a uvažujme na ní zúžení operací sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa, které jsou definovány původně na celém . Pokud je množina vektorovým prostorem, pak je nutně podprostorem prostoru , jak plyne ihned z definičních podmínek výše.
Vlastnosti
Alternativní definiční podmínky podprostoru Buď vektorový prostor nad tělesem a jeho neprázdná podmnožina. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní:
Druhé tvrzení lze množinově zapsat ve tvaru .
Důkaz: Dokážeme řetězec implikací . Začněme tedy s implikací . Množinové definiční podmínky podprostoru zní a a my víme z předpokladů, že je podprostor a tedy tyto podmínky splňuje. Dohromady tedy , což je množinové vyjádření tvrzení 2. Implikaci dokážeme matematickou indukcí. Nyní je třeba si uvědomit, že máme v rukou pouze tvrzení 2 a nevíme tedy, zda je podprostor vektorového prostoru . Víme pouze, že to je nějaká jeho podmnožina. Dokažme nejdříve, že v leží nulový vektor . Množina je neprázdná, vezměme z ní tedy libovolně nějaký její prvek . Na volbu prvku z tělesa nemáme omezení a vezměme tedy . Tvrzení 2 pak dává , tj. . Už víme tedy, že . Ukažme teď první krok indukce, tj. nechť a chceme dokázat pro libovolné a . Platí ale , což je vektor ve tvaru, který podle tvrzení 2 spadá do množiny . Dokažme dále indukční krok, tj. nechť všechny vektory tvaru leží v množině a vezměme libovolné a . Pak ale , což je opět vektor tvaru vyhovujícího tvrzení 2. Suma tedy leží v . Dokažme konečně implikaci . Položíme-li ve vzorci v tvrzení 3, tak dostáváme druhou definiční podmínku podprostoru. Pokud navíc zvolíme a , tak ihned dostáváme i první definiční podmínku podprostoru. Důkaz věty je tak dokončen.
Rovnosti a inkluze Mějme vektorový prostor nad tělesem a jeho podprostor . Dále buď podprostor množiny chápané jako vektorový prostor. Pak je podprostorem prostoru . V matematické notaci tedy .
Důkaz: Zřejmý z definičních podmínek podprostoru. Zúžení operací již jednou zúžených je opět nějaké zúžení operací definovaných na původním vektorovém prostoru.
S použitím množinové symboliky platí následující rovnosti
Důkaz: V prvních třech rovnostech inkluze zleva doprava rovnou plynou z definičních podmínek, resp. z tvrzení výše. Pro důkaz opačných inkluzí uvažujme vektor . V rovnosti 1 lze pak za vektor v prvním prostoru brát samotné a ve druhém prostoru stačí vzít nulový vektor. V rovnosti 2 lze k důkazu inkluze zprava doleva položit prvek z tělesa rovno jedné. V rovnosti 3 pak postupujeme analogickým způsobem. K důkazu rovnosti 4 využijme toho, že bereme a můžeme jím tedy dělit. Inkluze zleva doprava plyne z definice podprostoru. Pro důkaz opačné inkluze vezměme . Za vektor v prostoru na levé straně rovnosti pak stačí vzít vektor .
Součet dvou podprostorů vektorového prostoru je podprostor prostoru , tj.
Speciálně součet dvou podprostorů je direktní, právě když mají oba podprostory společný jen nulový vektor. To jest
Důkaz: Zřejmě je . Využijme tvrzení výše: , čímž jsme dokázali první vlastnost. Nyní k důkazu druhé části tvrzení týkající se direktního součtu. Předpokládejme pro důkaz implikace zleva doprava, že součet je direktní. V průniku těchto podprostorů leží určitě nulový vektor. Kdyby tam ležel i nenulový vektor , tak určitě a současně . Potom ale můžeme vyjádřit nulový vektor jako součet vektoru z a vektoru dvěma způsoby. Sice . To je však spor s direktností součtu . Dokažme nyní implikaci zprava doleva. Předpokládejme, že a přitom součet není direktní. Takže existuje vektor , který lze vyjádřit alespoň dvěma různými způsoby jako , kde a a navíc a . Pak ale , kde a . Mám tak nenulový vektor nacházející se v průniku , což je spor s předpoklady.
Průnik libovolného (konečného i nekonečného) počtu podprostorů vektorového prostoru je podprostor ve . Uvažujme tedy neprázdný systém podprostorů ve , kde je neprázdná indexová množina. Pak
Speciálně, průnik dvou podprostorů je opět podprostor.
Důkaz: Označme si nejprve průnik podprostorů ve vztahu výše jako . Množina je neprázdná, neboť v ní určitě leží nulový vektor (ten je totiž obsažen v jakémkoli podprostoru). Protože je průnik podprostorů , jedná se určitě o podmnožinu libovolného z . Pro každé tedy platí , kde druhá inkluze plyne z toho, že je podprostor a z tvrzení výše. Máme tedy pro každé inkluzi , takže i . Uvedený průnik podprostorů jsme si ale označili jako , tj. a z tvrzení výše plyne, že je podprostor.
Dimenze podprostorů ve vztahu k celkovému vektorovému prostoru Dimenze podprostoru vektorového prostoru nemůže překročit dimenzi prostoru , tj.
Pokud je navíc konečnědimenzionální a je vlastní podprostor, tak je dimenze ostře menší než dimenze . To jest
Důkaz: Je-li nekonečněrozměrný, pak první část tvrzení zjevně platí. Mějme nyní a . Nechť v existuje lineárně nezávislých vektorů. Protože je podmnožina , tak jsou tyto vektory lineárně nezávislé i v prostoru , což je spor s tím, že dimenze je rovna . Pro důkaz druhé části tvrzení nechť . V tedy existuje -členná báze . V tuto chvíli mohou nastat dvě situace, buď je a pak zřejmě , anebo je vlastním podprostorem . Ve druhém zmiňovaném případě tedy existuje vektor , který neleží v . Množina vektorů je tedy lineárně nezávislá a současně je podmnožinou vektorového prostoru , který tak musí mít dimenzi rovnou alespoň , tj. . Takže , což bylo dokázat.
Věta o dimenzi průniku a součtu podprostorů: Nechť jsou konečnědimenzionální podprostory vektorového prostoru , pak
Pro direktní součet podprostorů pak speciálně
Souvislost s lineárním obalem Mějme nyní vektorový prostor a v něm množinu vektorů pro jisté . V následujících několika tvrzeních se budeme zabývat vlastnostmi lineárního obalu těchto vektorů.
Lineární obal vektorů je podprostorem v prostoru . To jest
Důkaz: Plyne snadno z uzavřenosti lineárního obalu na sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa.
Dimenze lineárního obalu coby vektorového prostoru je vždy menší nebo rovna počtu generátorů. Neboli
Přitom dimenze lineárního obalu je rovna počtu svých generátorů právě když jsou generátory lineárně nezávislé (LN), tj.
Důkaz: Plyne z definice dimenze vektorového prostoru.
Lineární obal vektorů je nejmenší podprostor prostoru , který tyto vektory obsahuje. Neboli
Důkaz: Nejdříve inkluze zleva doprava. Mějme libovolně zvolený vektor z lineárního obalu. Chceme o něm ukázat, že leží v průniku podprostorů na pravé straně rovnosti výše. Vektor lze zjevně vyjádřit jako lineární kombinaci generátorů lineárního obalu, tj. ve tvaru . Protože ale v průniku vystupují podprostory obsahující všechny tyto generátory a podprostory jsou uzavřené na součty a násobení prvkem z tělesa, tak nutně leží v každém podprostoru vystupujícím v průniku. To znamená, že leží i v průniku samotném. Dokažme nyní opačnou inkluzi. Lineární obal zadaných vektorů je sám podprostor, který tyto vektory obsahuje. Vystupuje tedy jako jeden z podprostorů , přes něž se dělá průnik. Jenomže průnik množiny s nějakou jinou množinou je nutně menší nebo roven původní množině. Máme tedy dokázanou i opačnou inkluzi.
Příklady
Příklad 1 — Lineární obal Typickým příkladem podprostorů jsou lineární obaly vektorů z daného vektorového prostoru. Uvažujme například vektorový prostor aritmetických vektorů nad tělesem reálných čísel, tj. prostor n-tic reálných čísel. Dále nechť . Zvolme si ve libovolně nějaký nenulový vektor . Pak nejjednodušší netriviální podprostor ve je lineární obal takovéhoto jednoho libovolně zvoleného nenulového vektoru:
kde symbolem značíme lineární obal. Lineární obal jednoho nenulového vektoru lze interpretovat jako přímku. Pro bližší informace viz oddíl Geometrická interpretace v článku lineární obal, ve kterém jsou uvedeny další příklady lineárních obalů coby podprostorů (oddíl Příklady). Podobně lineární obal dvou nenulových, vzájemně lineárně nezávislých vektorů,
lze interpretovat jako rovinu ve . Takto můžeme přidávat další lineárně nezávislé vektory, až dostaneme lineární obal lineárně nezávislých vektorů
Tento je zjevně roven celému prostoru , jehož dimenze je .
Na příkladu lineárních obalů se dá dále názorně ukázat tvorba nových podprostorů pomocí součtu či průniku podprostorů jiných. Mějme ve výše uvedeném vektorovém prostoru dva podprostory tvaru
Pak jejich součtem, resp. průnikem, dostanu podprostory ve tvaru
Příklad 2 — Prostor funkcí Oproti předchozímu příkladu uvažujme nyní vektorový prostor nekonečné dimenze. Konkrétně budeme brát množinu všech reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí tvaru . Nadále budeme tuto množinu opět značit jako . Máme tedy
Na této množině si můžeme zavést sčítání dvou funkcí jako
Součtem dvou funkcí a je tedy funkce, jejíž hodnota je v každém bodě rovna součtu hodnot a . Obdobně zavedeme operaci násobení funkce reálným číslem jako
Není těžké ověřit, že množina s právě definovanými operacemi sčítání dvou funkcí a násobení funkcí číslem skutečně tvoří vektorový prostor. V tomto prostoru můžeme uvažovat různé podprostory. Za všechny uveďme dva.