Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry.
Definice Nechť je tělesové rozšíření a je dán prvek . Pak je minimálním polynomem prvku takový monický polynom z polynomiálního okruhu , kterého je kořenem a který je mezi takovými polynomy nejmenšího stupně.
Existence a jednoznačnost Minimální polynom může existovat pouze k algebraickým prvkům – pokud je prvek transcendentní a tedy není kořenem žádného polynomu z , pak nelze hledat mezi takovými polynomy polynom monický a nejnižšího stupně.
Je-li ovšem prvek algebraický, pak je množina všech polynomů, jejichž je kořenem, vlastním ideálem. A protože je oborem hlavních ideálů, jedná se o hlavní ideál generovaný nějakým polynomem , ke kterému je jednoznačně asociovaný monický polynom, což je hledaný minimální polynom.
Vlastnosti Minimální polynom musí být ireducibilní.
Příklady Rozšíření , tedy tělesa reálných čísel nad tělesem racionálních čísel, sice není algebraické, ale některé jeho prvky ano: Například je kořenem polynomu , který je přímo i jeho minimálním polynomem.
Odkazy
Reference
Literatura
Kategorie:Polynomy Kategorie:Teorie těles