Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení základních elementárních funkcí, jedná se tedy o algebraické funkce a nižší transcendentní funkce, jako logaritmické, exponenciální, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.
Základní elementární funkce Definice logaritmu a exponenciály náhled|Exponenciální a logaritmická funkce při základu Funkci přirozeného logaritmu lze zavést axiomaticky:
definiční obor funkce je otevřený interval pro každé dva prvky a definičního oboru platí: pro každé dva prvky definičního oboru platí: pro prvky definičního oboru platí:
Výše uvedené čtyři axiomy splňuje právě jedna funkce, tj. funkce přirozený logaritmus. Exponenciální funkci pak můžeme definovat jako inverzi přirozeného logaritmu a její pomocí definovat obecnou mocninnou funkci:
kde funkce je na svém definičním oboru kladná. Je-li funkce resp. konstantní resp. identická funkce, dostáváme mocninnou funkci s reálným exponentem , je-li funkce resp. identická resp. konstantní funkce, dostáváme exponenciální funkci při reálném základu . Pomocí funkce lze zavést funkce hyperbolické a jejich inverzí funkce hyperbolometrické.
Definice sinu náhled|Sinus a kosinus jako jeho posunutí Funkci sinu lze zavést axiomaticky:
definiční obor funkce je reálná osa
pro každé dva prvky a definičního oboru platí: pro každé dva prvky z uzavřeného intervalu platí: pro prvky definičního oboru platí:
Výše uvedených pět axiomů splňuje právě jedna funkce, tj. funkce sinus, jejíž pomocí lze zavést funkce goniometrické a jejich inverzí funkce cyklometrické.
Vlastnosti Elementární funkce jsou na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů: spojité, diferencovatelné, integrovatelné, tj. existují k nim primitivní funkce.
Příklady Příklady elementárních funkcí: , , . Příkladem funkce, která není elementární, je chybová funkce: .
Literatura
Související články Funkce
Externí odkazy
Elementární funkce - studijní materiál VŠB
Kategorie:Matematické funkce