náhled|Důkaz tvrzení, že každá úsečka je stranou nějakého rovnostranného trojúhelníku, pocházející z Eukleidových Základů. Jeden z nejstarších dochovaných matematických důkazů Matematický důkaz je deduktivní úvaha pro matematický výrok, která ukazuje, že uvedené předpoklady logicky zaručují závěr. Argument může využívat i jiná dříve prokázaná tvrzení, například matematické věty, ale každý důkaz lze v zásadě sestavit pouze s použitím určitých základních nebo výchozích předpokladů, známých jako axiomy, spolu s přijatými pravidly odvozování. Důkazy jsou příklady vyčerpávajícího deduktivního usuzování, které zakládá logickou jistotu, jež je třeba odlišit od empirických argumentů nebo nevyčerpávajícího induktivního usuzování, které zakládá pouze tzv. „rozumné očekávání“. Pro důkaz nestačí předložit mnoho případů, v nichž tvrzení platí, důkaz musí prokázat, že tvrzení je pravdivé ve všech možných případech. Výrok, který nebyl dokázán, ale o němž se předpokládá, že je pravdivý a pokud se často používá jako předpoklad pro další matematickou práci, se nazývá domněnka nebo hypotéza.
Důkazy používají logiku vyjádřenou matematickými symboly a přirozený jazyk, který obvykle připouští určitou nejednoznačnost. Ve většině matematické literatury jsou důkazy psány v termínech přísné neformální logiky. Čistě formální důkazy, zapsané plně v symbolickém jazyce bez zapojení přirozeného jazyka, jsou uvažovány v teorii důkazů. Rozdíl mezi formálními a neformálními důkazy vedl k mnoha zkoumáním současné i historické matematické praxe, kvaziempirismu v matematice a tzv. matematického folklóru, ústní tradice v běžné matematické komunitě nebo v jiných kulturách. Filosofie matematiky se zabývá úlohou jazyka a logiky v důkazech a matematikou jako jazykem.
Princip matematického důkazu Lze tvrdit, že pojem rigorózního matematického důkazu je tím, čím se matematika výrazně vyděluje ze spektra ostatních vědeckých disciplín. str. 3. Matematický důkaz je totiž na rozdíl od důkazů v jiných oblastech lidského konání (např. v právu, přírodních vědách atd.) alespoň principiálně nezpochybnitelný. str. 1. Není vyloučeno, že se podaří matematicky prokázat tvrzení, které ve skutečnosti neplatí. Důkaz takového tvrzení pak ale musí být nutně chybný a tato chyba musí být (po dostatečně důkladném prozkoumání) nalezitelná. Zdrojem omylů při matematickém dokazování tedy není samotný pojem důkazu, ale vždy a pouze jen chybující lidé.
Induktivní vs. deduktivní dokazování
Induktivní dokazování Ve všech vědeckých disciplínách s výjimkou matematiky jsou teorie posuzovány podle míry souladu s reálným světem a podle toho, nakolik přesně dokážou vysvětlovat a předpovídat reálné jevy. Nové teorie jsou budovány tak, aby odpovídaly experimentálně zjištěným datům. Jsou-li s těmito daty v souladu, jsou prohlášeny za správné. Je-li za nějaký čas vyslovena hypotéza, o jejíž platnosti současná teorie není schopna rozhodnout, provede se experiment, podle jehož výsledku se tato hypotéza buďto odvrhne, nebo zabuduje do uznávané teorie. Pokud se později objeví experimentální data, která jsou ve sporu se stávající teorií, je tato teorie odvržena a nahrazena teorií novou. Tento způsob ověřování hypotéz a budování teorií se nazývá induktivní.
Příkladem induktivního důkazu může být způsob zdůvodnění tvrzení „Zítra ráno vyjde slunce.“ Ze zkušenosti naší i našich předků víme, že slunce vyšlo již mnohotisíckrát. Naproti tomu nemáme žádné zprávy o tom, že by nějaké ráno slunce nevyšlo. Navíc slunce poslední dobou nevykazuje žádné nezvyklé chování, které by napovídalo tomu, že je s ním něco jinak, než kdykoli v zaznamenané historii. Na základě těchto skutečností tedy usoudíme, že se zcela zanedbatelnou možností omylu slunce zítra ráno opět vyjde.
Induktivní dokazování však může být velice zrádné. Například v klasické mechanice je přijímáno za pravdivé tvrzení známé jako druhý Newtonův pohybový zákon, které tvrdí „Jestliže na těleso působí síla, pak se těleso pohybuje se zrychlením, které je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.“ Toto tvrzení odpovídalo až do druhé poloviny 19. století všem prováděným experimentům, a bylo tudíž považováno za pravdivé – induktivně dokázané. Poté, co na přelomu 19. a 20. století některé experimenty prokázaly, že pohyb světla se neřídí Newtonovými zákony, bylo toto tvrzení spolu s celou klasickou mechanikou odvrženo a nahrazeno teorií relativity. Podle této teorie vyvolává síla působící na těleso pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla jen minimální zrychlení a zbytek vložené energie způsobuje zvýšení hmotnosti tělesa.
Z posledního příkladu je patrné, že induktivně dokázané tvrzení nemůže být nikdy považováno za zcela nezpochybnitelné. Žádné, byť sebevětší, množství experimentálních dat potvrzujících toto tvrzení totiž nemůže zaručit, že nějaký v budoucnu provedený experiment s ním nebude ve sporu.
Deduktivní dokazování Naproti tomu deduktivní důkaz je takový, v němž je dané tvrzení dokázáno ze stanovených předpokladů pouze na základě logických úvah. Navíc tyto logické úvahy jsou rozděleny do konečně mnoha kroků, z nichž v každém je odvozeno pouze jediné tvrzení bezprostředně vyplývající z dříve odvozených. Z těchto důvodů je deduktivně dokázané tvrzení pravdivé, jsou-li pravdivé předpoklady, z nichž bylo odvozeno. Tato pravdivost je navíc zcela nezpochybnitelná, neboť důkaz lze rozdělit do konečně mnoha kroků, z nichž každý je pouhým bezprostředním logickým důsledkem dříve dokázaných tvrzení a jako takový tedy nezpochybnitelný.
Všechny druhy matematických důkazů od samotných historických počátků tohoto pojmu ve starověkém Řecku až po současnost, přes celou šíři nejrůznějších důkazových metod, jsou důkazy deduktivními. str. 1.
Příklady induktivních a deduktivních důkazů matematických tvrzení
Součin dvou lichých čísel je lichý Uvažujme tvrzení: „Součin každých dvou lichých přirozených čísel je liché přirozené číslo.“
Vyzkoušíme-li několik nízkých přirozených čísel, zjistíme, že pro ně tvrzení platí: 1 · 1 = 1, 1 · 3 = 3, 3 · 1 = 3, 3 · 3 = 9, 3 · 5 = 15…. Podobně bychom například s použitím počítače mohli ověřit, že tvrzení platí pro všechna čísla menší než 1 000 000, pokud by nám to nestačilo, mohli bychom tuto hranici zvýšit libovolně vysoko, například na 101 000 000 (číslo začínající jedničkou za níž následuje 1 000 000 nul), a vždy bychom zjistili, že tvrzení platí. Po určité době takovýchto zvyšování hranice bychom již mohli uznat, že jsme vyzkoušeli dost příkladů na to, abychom si byli téměř stoprocentně jistí správností našeho tvrzení. Tím jsme toto tvrzení dokázali induktivně. Nikdy si však nemůžeme být zcela jisti, že nějaký protipříklad neleží těsně za číslem, na kterém jsme testování ukončili (toto bývá nazýváno problém horizontu).
Naproti tomu deduktivní důkaz je následující. Je-li m liché číslo, je m − 1 číslo sudé, tedy existuje celé číslo k takové, že m − 1 = 2 · k. Za k totiž stačí zvolit (m − 1) / 2, což je celé číslo právě díky sudosti m − 1. Pak m = 2 · k + 1. Obdobně zdůvodníme, že pro n liché existuje celé číslo l, že n = 2 · l + 1. Pak součin m · n je roven (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1. Protože 4 · k · l + 2 · k + 2 · l je zjevně sudé, je m · n liché, což jsme chtěli dokázat. Až nyní si můžeme být stoprocentně jisti tím, že tvrzení platí. Jsou-li totiž dána dvě lichá čísla, platí pro ně každý jednotlivý krok důkazu, a tedy i jeho závěr.
Hypotéza prvočíselných dvojic
Hypotéza prvočíselných dvojic je dosud (červenec 2011) nedokázané tvrzení z oblasti teorie čísel, podle kterého existuje nekonečně mnoho prvočísel p takových, že i p + 2 je prvočíslo. Dvojice takových čísel (p, p + 2) se nazývá prvočíselná dvojice.
Největší dosud známá prvočíselná dvojice je (65 516 468 355· 2 333 333 − 1; 65 516 468 355· 2333 333 + 1), obě čísla této dvojice mají (v desítkové soustavě) 100 355 cifer. Přestože jsou známy takto veliké příklady prvočíselných dvojic, není možné považovat hypotézu za deduktivně (matematicky) prokázanou, neboť je možné, že žádná další větší prvočíselná dvojice již nikdy nalezena nebude – jednoduše proto, že neexistuje. Nicméně předpokládá se (a nutno dodat, že nejen kvůli zde naznačenému induktivnímu důkazu), že tvrzení platí. Jeho důkaz tak zůstává jedním z nejvyzývavějších problémů současné teorie čísel.
Gödelovy věty a hranice deduktivních metod
Podle Gödelových vět o neúplnosti existují v každé dostatečně složité (natolik, aby v ní šlo hovořit o přirozených číslech) matematické teorii, jejíž axiomy lze efektivně vypsat, tvrzení, která v této teorii nelze ani dokázat, ani vyvrátit (teorie je takzvaně neúplná). Mezi takové teorie patří například Peanova aritmetika nebo Zermelova–Fraenkelova teorie množin.
Tyto věty tedy říkají, že deduktivní způsob dokazování je do značné míry limitován. Není totiž možné deduktivně dokázat ani vyvrátit všechna tvrzení, která platí o tak jednoduchém a přístupném oboru, jakým jsou přirozená čísla.
Historický vývoj
Starověk
Egypt a Babylónie náhled|Část Rhindova papyru – sbírky 84 vyřešených úloh pocházející z období mezi střední a novou říší ve starověkém Egyptě Od starých Egypťanů a Babylóňanů nejsou dochovány žádné matematické důkazy v dnešním slova smyslu. Dochovalo se mnoho záznamů zachycujících řešení různých konkrétních problémů a úloh. Má se za to, že tyto problémy byly již natolik abstraktní, a tato řešení tak elegantní, že v jejich pozadí muselo stát hluboké porozumění dané oblasti zahrnující implicitně důkazy správnosti používaných metod.
Čína V Číně 5. až 3. století př. n. l. se kromě praktické matematiky rozvíjela také logika. Té se věnovala zejména škola následníků filozofa Mo Tiho, jejíž příslušníci se zabývali teorií poznání a svá tvrzení logicky dokazovali. str. 194 Jedním z nejvýznamnějších následníků Mo Tiho byl Kung-sun Lung žijící v první polovině třetího století před naším letopočtem.
Logický důkaz však nebyl v Číně dále rozvíjen. Mo Tiho učení bylo totiž za vlády dynastie Chan zcela vytlačeno konfucianismem a pozdější čínští filozofové se k němu již nikdy nevrátili.
Řecko Pojem deduktivního matematického důkazu má svůj původ ve starověkém Řecku. Stejně jako celá tehdejší matematika byl i matematický důkaz velmi úzce spjat s geometrií. Nejstarší matematické důkazy pocházejí právě z této doby – dochovaly se ve třináctidílném Euklidově spisu Základy.
Evidence v platónském pojetí geometrie Matematický důkaz, tak jak ho známe v dnešní době, má své počátky v řecké geometrii rozvíjené pod vlivem Platónovy filozofie. Ovlivněni touto filozofií, snažili se tehdejší geometři odkrývat svět geometrických idejí a nazírat pravdu v něm obsaženou. V tomto pojetí matematický důkaz v dnešním smyslu slova ještě neexistoval. Jedinou možností, jak s naprostou jistotou zjistit pravdu o geometrickém světě, bylo tuto pravdu přímo nazírat – evidovat ji. Pokud se nějakému geometrovi podařilo evidovat platnost například Pythagorovy věty – tj. na malou chvíli skutečně zahlédl, že součet velikostí obsahů dvou čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku je roven velikosti obsahu čtverce nad jeho přeponou, bylo to vždy jen na dobu, po kterou trvalo jeho soustředění. Jakmile pozornost polevila, zrak, kterým prohlížel do světa geometrických idejí, se zamlžil a evidence byla ztracena. Aby si kdykoli znovu mohl tuto evidenci zjednat a také aby stejnou možnost poskytl i ostatním matematikům, sepsal pak takový geometr návod, jak by měl člověk postupovat (tj. do jakých míst geometrického světa se dívat), aby znovu pravdivost Pythagorovy věty zahlédl. Takovéto návody, z nichž se později (v aristotelském pojetí geometrie) vyvinuly geometrické konstrukce, byly nejstaršími předchůdci matematických důkazů.
Vznik matematického důkazu