Množinová algebra definuje vlastnosti a zákony množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a množinových relací rovnosti a inkluze. Poskytuje také systematické postupy pro vyhodnocování výrazů a provádění výpočtů obsahujících tyto operace a relace.
Jakýkoli systém množin uzavřený vůči množinovým operacím vytváří Booleovu algebru, ve které je sjednocení operací spojení, průnik je operací průseku, množinový doplněk je operací doplňku, nejmenší prvek je prázdná množina a největší prvek je univerzální množina.
Základy Množinová algebra je množinově teoretická analogie číselné algebry. Množinové sjednocení a průnik jsou asociativní a komutativní stejně jako aritmetické operace sčítání a násobení; množinová relace „je podmnožinou“ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní stejně jako aritmetická relace „menší nebo rovno“.
Jde o algebru množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a relací rovnosti a inkluze. Základní informace o teorii množin jsou ve článcích množina, teorie množin, naivní teorie množin a axiomatická teorie množin.
Základní zákony množinové algebry
Množinové binární operace sjednocení () a průnik () vyhovují mnoha identitám. Několik těchto identit nebo „zákonů“ je pojmenovaných.
Zákony komutativity:
Zákony asociativity:
Zákony distributivity:
Sjednocení a průnik množin můžeme považovat za operace analogické sčítání a násobení čísel. Stejně jako sčítání a násobení, operace sjednocení a průnik jsou komutativní a asociativní a průnik je distributivní vůči sjednocení. Na rozdíl od sčítání a násobení je také sjednocení distributivní vůči průniku.
Další dvojice zákonů definuje speciální množiny nazývané prázdná množina Ø a univerzální množina (univerzum) ; spolu s doplněk operátor ( označuje doplněk . Tento může také být napsaný jako , čteme s čarou). Prázdná množina nemá žádné prvky a univerzální množina má všechny možné prvky (v určitém kontextu).
Zákony identity:
Zákony doplňku:
Zákony identity (spolu s komutativními zákony) říkají že stejně jako čísla 0 a 1 jsou neutrálními prvky pro sčítání a násobení, jsou Ø a U neutrálními prvky pro sjednocení, resp. průnik.
Operace sjednocení a průnik nemají na rozdíl sčítání a násobení inverzní prvky. Zákony doplňku však poskytují základní vlastnosti unární operace, která se chová jako obdoba k množinovému doplňku.
Výše uvedených pět dvojic zákonů – komutativní, asociativní, distributivní, zákony identity a doplňku – obsahuje kompletní seznam axiomů množinové algebra, v tom smyslu, že každé pravdivé tvrzení v množinové algebře z nich může být odvozeno.
Odkazy
Reference
Literatura Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) . "The Algebra of Sets", pp 16—23. Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. . "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".
Související články σ-algebra je algebra množin, uzavřená vůči spočetným nekonečným operacím. Axiomatická teorie množin Systém množin Naivní teorie množin Množina Topologický prostor – podmnožina (potenční množiny množiny ), uzavřená vůči libovolným sjednocením a konečným průnikům a obsahující a .
Externí odkazy Operations on Sets at ProvenMath
Kategorie:Teorie množin