V lineární algebře se spektrem čtvercové matice rozumí multimnožina všech jejích vlastních čísel.

Spektrum matice se obvykle značí , nebo .

Definice

Je-li dána čtvercová matice řádu nad tělesem , potom vlastním číslem se rozumí skalár , pro nějž existuje vektor takový, že platí rovnost . Lze ukázat, že vlastní čísla tvoří množinu kořenů charakteristického polynomu matice definovaného jako .

Prvky spektra jsou vlastní čísla čili kořeny charakteristického polynomu . Násobnost vlastního čísla ve spektru, tzv. algebraická násobnost, odpovídá jeho násobnosti coby kořene charakteristického polynomu.

Obecněji, je-li vektorový prostor konečné dimenze nad nějakým tělesem a je lineární zobrazení, potom spektrum zobrazení , je multimnožinou skalárů takových, že zobrazení není invertibilní.

Ukázka

Reálná matice

Má charakteristický polynom

Spektrum matice tvoří multimnožina kořenů charakteristického mnohočlenu včetně násobností:

Reálná matice

Má charakteristický polynom

Spektrum matice tvoří v oboru reálných čísel je jednoprvková množina:

V oboru komplexních čísel lze rozložit i polynom na lineární faktory. Proto byla-li by brána jako komplexní matice, měla by spektrum .

Vlastnosti

Determinant matice nad algebraicky uzavřeným tělesem, jako jsou např. komplexní čísla, je roven součinu jejích vlastních čísel. Podobně se stopa matice rovná součtu jejích vlastních čísel. Z tohoto pohledu lze definovat pseudodeterminant singulární matice jako součin jejích nenulových vlastních čísel. Tato veličina se používá pro hustotu vícerozměrného normálního rozdělení.

Spektrální rozklad diagonalizovatelné matice je její rozklad do specifické kanonické formy, přičemž matice je reprezentována svými vlastními čísly a vlastními vektory.

Odhad na prvky spektra komplexních matic dává Geršgorinova věta o kruzích.

Spektrální poloměr

V řadě aplikací, jako např. PageRank, je podstatné dominantní vlastní číslo, tj. to s největší absolutní hodnotou. Spektrálním poloměrem reálné či komplexní matice se nazývá číslo ,

kde je spektrum matice .

V jiných aplikacích je podstatné vlastní číslo nejmenší absolutní hodnoty, ale obecně celé spektrum poskytuje cenné informace o matici.

Odkazy Reference

Literatura

Související články Stopa matice Vlastní číslo

Kategorie:Teorie matic