Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.
Označení a formální definice Univerzální třída se obvykle značí a bývá definována jako . S ohledem na to, že je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.
Vlastnosti univerzální třídy Univerzální třída obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu. Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do , pak je podle definice tato množina podmnožinou .
Univerzální třída není množina (je to tedy vlastní třída). Pokud by byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina . Podle Cantorovy věty má větší mohutnost než , ale podle předchozího odstavce je zároveň podmnožinou , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).
Univerzální třída není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída všech ordinálních čísel nebo třída všech kardinálních čísel. To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce nelze obrátit implikaci.
Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí ). axiom fundovanosti (AF): Pak je rovna fundovanému jádru (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence) axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak je rovna třídě konstruovatelných množin (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace) axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi a třídou všech ordinálních čísel. axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření do -saturované tranzitivní třídy.
Související články Fundované jádro Konstruovatelná množina Teorie množin Třída Vlastní třída
Kategorie:Teorie množin