Velké kardinály či velká kardinální čísla je v teorii množin souhrnné označení pro kardinální čísla, jejichž existence je nezávislá na axiomech Zermelovy–Fraenkelovy teorie s axiomem výběru (ZFC). Existence či neexistence každého z těchto čísel má v ZF závažné důsledky týkající se zejména nekonečné kombinatoriky. Často však přijetí axiomu postulujícího existenci nějakého velkého kardinálu zásadně ovlivňuje vlastnosti o kardinálech malých ( …).
Pojem „velký kardinál“ není exaktní pojem ve smyslu „kardinál se nazývá velký, právě když pro něj platí...“. Je to souhrnný pojem pro mnoho exaktních definic – měřitelný kardinál, nedosažitelný kardinál, slabě kompaktní kardinál atd. – které mají řadu společných rysů, mj.: Existence takových kardinálů není (nebo alespoň není známo, že by byla) ani dokazatelná, ani vyvratitelná ze ZFC, je-li ZFC konzistentní. U mnohých z nich má jejich (ne)existence velký vliv na chování běžně studovaných objektů : funkcí, topologických prostorů atd. Například z existence některých velkých kardinálů plyne, že existuje model ZF, a tedy že neexistuje přirozené číslo reprezentující důkaz sporu v ZF. Věta o úplnosti totiž dokazuje, že sporná teorie nemůže mít model. Existence takového kardinálu tedy významně ovlivňuje vlastnosti tak „malé a přehledné“ množiny, jako jsou přirozená čísla.
Historie Počátky studia velkých kardinálů sahají do poloviny 20. století, kdy začaly být zkoumány Alfredem Tarskim a později jeho žáky.
Vztahy mezi velkými kardinály Je jistě zajímavé, že velké kardinály jsou téměř lineárně uspořádány relací inkluze (a ještě „lineárněji“ relací relativní bezespornosti existence), a to přesto, že pocházejí často z velmi vzdálených částí matematiky.
Seznam velkých kardinálů V následujícím výčtu jsou velké kardinály seřazeny podle velikosti od nejmenšího (v některých případech není přesné zařazení dle velikosti známo, pak je příslušný kardinál uveden někde v oblasti nejužšího známého omezení): slabě nedosažitelný kardinál nedosažitelný kardinál α-nedosažitelný kardinál hypernedosažitelný kardinál slabě Mahlův kardinál Mahlův kardinál α-Mahlův kardinál hyperMahlův kardinál slabě kompaktní kardinál -nepopsatelný kardinál totálně nepopsatelný kardinál λ-nesložitelný kardinál nesložitelný kardinál subtilní kardinál téměř nevýslovný kardinál nevýslovný kardinál n-nevýslovný kardinál totálně nevýslovný kardinál pozoruhodný kardinál Erdösův kardinál κ(α) skoroRamseyův kardinál Jónssonův kardinál Rowbottomův kardinál Ramseyův kardinál nevýslovněRamseyův kardinál měřitelný kardinál λ-silný kardinál silný kardinál Woodinův kardinál slabě hyperWoodinův kardinál Shelahův kardinál hyperWoodinův kardinál supersilný kardinál subkompaktní kardinál silně kompaktní kardinál (přesná síla neznámá: > Woodinův kardinál, ≤ superkompaktní) superkompaktní kardinál rozšiřitelný kardinál η-rozšiřitelný kardinál Vopěnkův kardinál skoroobří kardinál superskoroobří kardinál obří kardinál superobří kardinál
Kunenova bariéra (strop pro velké kardinály nezávislé na ZFC)
Reinhardtův kardinál (jeho existence je ve sporu s axiomem výběru, pouze v ZF však vyvratitelná není)
Kategorie:Kardinální čísla